contrôle du 20 décembre 2013

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(-1;3\right)$, $B\left(6;2\right)$ et $C\left(4;-2\right)$.

2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

   Il suffit que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

   Or les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont :$$\begin{array}{ccccccc}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}6-\left(-1\right)\\ 2-3\end{array}\right)\iff \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\right)& \text{;}& \overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_D\\ y_C-y_D\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}4-x_D\\ -2-y_D\end{array}\right)\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{c}4-x_D=7\\ -2-y_D=-1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}{x}_D=-3\\ y_D=-1\end{array}\end{array}$$

   Les coordonnées du point D sont $D\left(-3;-1\right)$

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3. Quelle est la nature du triangle AOB ?

   Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'où :$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{OA}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}=\sqrt{10}& \text{;}& \mathrm{OB}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}& \text{et}& \mathrm{AB}=\sqrt{7^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{50}\end{array}$$

   Par conséquent, ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2$ d'après le théorème de Pythagore :

   Le triangle AOB est rectangle en O.

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4. 1. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC].

      Les coordonnées du point M milieu du segment [BC] sont :$$\begin{array}{ccccc}M\left({\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}};{\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}}\right)& \text{Soit}& M\left({\displaystyle \frac{6+4}{2}};{\displaystyle \frac{2-2}{2}}\right)& \iff & M\left(5;0\right)\end{array}$$

      Le point M a pour coordonnées $M\left(5;0\right)$.

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   2. Calculer l'abscisse x du point $E\left(x;1\right)$ de la droite (AM).

      $E\left(x;1\right)$ est un point de la droite (AM) si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}x+1\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}\right)$ sont colinéaires. Soit $$\begin{array}{lll}-3\times \left(x+1\right)-6\times \left(-2\right)=0& \iff & -3x+9=0\\ & \iff & x=3\end{array}$$

      Les coordonnées du point E sont $E\left(3;1\right)$.

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5. Les points D, E et B sont-ils alignés ?

   Les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont $\overrightarrow{DE}\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{DB}\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{DE}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{DB}$

   Les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires donc les points D, E et B sont alignés.

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