contrôles en seconde

contrôle du 25 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 2

ABC est un triangle.

Soit M le point défini par $\vec{M A} - 3 \vec{M C} = \vec{A B}$ .
1. Exprimer le vecteur $\vec{A M}$ en fonction des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .
  D'après la relation de Chasles : $\begin{array}{l} \vec{M A} - 3 \vec{M C} = \vec{A B} & \Leftrightarrow & \vec{M A} - 3 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow & - 2 \vec{M A} - 3 \vec{A C} = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow & 2 \vec{A M} = \vec{A B} + 3 \vec{A C} \end{array}$
  Le point M est tel que $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ .
2. Placer le point M sur la figure.
Dans le repère $(A; \vec{A B}, \vec{A C})$ on considère le point D de coordonnées $(1; 1)$ .
1. Placer le point D sur la figure.
2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
  Dans le repère $(A; \vec{A B}, \vec{A C})$ le point D a pour coordonnées $(1; 1)$ d'où :
  $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ donc ABCD est un parallélogramme.
Les droites (BC) et (DM) sont-elles parallèles ?
- méthode 1 :
  $\begin{array}{l} \vec{D M} = \vec{D A} + \vec{A M} & \Leftrightarrow & \vec{D M} = - (\vec{A B} + \vec{A C}) + (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}) \\ \Leftrightarrow & \vec{D M} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} \\ \Leftrightarrow & \vec{D M} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{A C}) \\ \Leftrightarrow & \vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{B C} \end{array}$
  Les vecteurs $\vec{D M}$ et $\vec{B C}$ sont colinéaires donc les droites (BC) et (DM) sont parallèles.
- méthode 2 : utilisation des coordonnées
  Dans le repère $(A; \vec{A B}, \vec{A C})$ , les coordonnées des points B, C, D et M sont $B (1; 0)$ , $C (0; 1)$ , $D (1; 1)$ et $M (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ . Les coordonnées des vecteurs $\vec{D M}$ et $\vec{B C}$ sont : $\begin{matrix} \vec{D M} (\begin{matrix} x_{M} - x_{D} \\ y_{M} - y_{D} \end{matrix}) & Soit & \vec{D M} (\begin{matrix} \frac{1}{2} - 1 \\ \frac{3}{2} - 1 \end{matrix}) & d'où & \vec{D M} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) \\ et & \vec{B C} (\begin{matrix} x_{C} - x_{B} \\ y_{C} - y_{B} \end{matrix}) & Soit & \vec{B C} (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
  On en déduit que $\vec{B C} = 2 \vec{D M}$
  Les vecteurs $\vec{D M}$ et $\vec{B C}$ sont colinéaires donc les droites (BC) et (DM) sont parallèles.

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