contrôles en seconde

contrôle du 16 avril 2015

Vecteurs
Équation de droites.
Second degré.

exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

proposition 1 : Si a est un réel tel que $- 2 ⩽ a ⩽ 4$ alors $4 ⩽ a^{2} ⩽ 16$ .
proposition 2 : Si f est une fonction affine telle que $f (2) = - 1$ et $f (- 1) = 4$ alors f est croissante sur $ℝ$ .
proposition 3 : Si f est une fonction affine telle que $f (- 1) = 3$ et $f (2) = 5$ , alors $f (5) = 7$ .
proposition 4 : Soient A et B deux points distincts du plan. Si $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{A B}$ alors M est le milieu du segment [AB].
proposition 5 : Le point M de coordonnées $(- 1; 3)$ est le milieu du segment [AB] où les coordonnées des points A et B sont respectivement $(2; - 3)$ et $(- 4; 9)$ .

exercice 2

Soit ABCD un quadrilatère quelconque et M et N les points définis par $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ et $\vec{A N} = 3 \vec{A D}$ .

Démontrer que $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{C B} + \vec{A D}$ .
Établir les relations suivantes :
1. $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{B C}$ .
2. $\vec{C N} = 2 \vec{A D} - \vec{D C}$ .
En déduire que si ABCD est un parallélogramme alors les points C, M et N sont alignés.

exercice 3

Soit $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ un repère orthonormé du plan.

On considère la droite D passant par le point $E (4; - 2)$ et admettant pour coefficient directeur $(- 2)$ .
1. Déterminer une équation de la droite D.
2. Le point $F (2; - 1)$ est-il un point de la droite D ?
On considère les points $A (- 4; 9)$ et $B (2; 12)$ .
1. Déterminer une équation de la droite (AB).
2. Les droites (AB) et D sont elles parallèles ?
Résoudre le système $S : {\begin{matrix} y = - 2 x + 6 \\ y = 0,5 x + 11 \end{matrix}$ . Interpréter graphiquement le résultat.
On admettra maintenant que les droites (AB) et D sont sécantes en $H (- 2; 10)$
Démontrer que le triangle BHE est rectangle en H.

exercice 4

partie a

ABCD est un carré de côté 12 cm. M étant un point du segment [AB], on construit le carré AMNP et le triangle rectangle isocèle PRD comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On pose $x = A M$ avec $x \in [0; 12]$ .

Exprimer en fonction de x l'aire du triangle PRD.
On note $f (x)$ l'aire en cm² de la partie hachurée.
1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0; 12]$ , $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 12 x + 72$ .
2. Donner, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f.
  En déduire la valeur minimale de l'aire de la partie hachurée.
Déterminer les positions éventuelles du point M pour que l'aire de la partie hachurée soit égale à la moitié de l'aire du carré ABCD.

Partie b

ABCD est un carré de côté 12 cm. M étant un point du segment [AB], on construit le trapèze DMBC.

On pose $x = A M$ avec $x \in [0; 12]$ .

On note $g (x)$ l'aire en cm² du trapèze DMBC.
Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0; 12]$ , $g (x) = 144 - 6 x$ .
On donne en annexe la représentation graphique de la fonction f définie dans la partie A.
1. Tracer sur la figure donnée la représentation graphique de la fonction g.
2. Démontrer que, pour tout $x \in [0; 12]$ , $f (x) - g (x) = \frac{3}{2} \times [{(x - 2)}^{2} - 52]$ .
3. Résoudre l'inéquation $f (x) ⩽ g (x)$ .

ANNEXE

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