contrôle du 30 septembre 2014

exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes et écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des solutions de l'inéquation.

1. $2x-3⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

2. $1-{\displaystyle \frac{2}{3}}x>3+x$

3. ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-x\right)}^2⩽\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

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exercice 2

Soit f une fonction définie sur ℝ et telle que 0 a trois antécédents.

1. Pour chacune des deux propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :

   1. « L'équation $f\left(x\right)=0$ admet trois solutions. »

   2. « La courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des ordonnées en trois points. »

2. Parmi les courbes tracées ci-dessous, quelles sont celles qui peuvent représenter la fonction f ?

   Courbe $C_1$

   Courbe $C_2$

   Courbe $C_3$

   Courbe $C_4$

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exercice 3

Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

2. Donner le tableau du signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

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exercice 4

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[-8;5\right]$. Son tableau de variations est le suivant :

x	− 8		− 5		− 3	2	5
$f\left(x\right)$	6		1		3		− 2

1. Comparer $f\left(-{\displaystyle \frac{17}{3}}\right)$ et $f\left(-6\right)$.

2. Quel est le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$.

3. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)>0$.

4. Pour chacune des propositions suivantes, justifier : si elle est vraie ; si elle est fausse ou si le tableau ne permet pas de conclure.

   1. « Si x est un réel de l'intervalle $\left[-8;-3\right]$ alors $3⩽f\left(x\right)⩽6$. »

   2. « Si $3⩽f\left(x\right)⩽6$ alors $x\in \left[-8;-3\right]$. »

   3. « Tous les réels de l'intervalle $\left[-8;0\right]$ ont une image supérieure ou égale à 1. »

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exercice 5

ABCD est un rectangle tel que $AB=5$ et $AD=9$.
M étant un point du segment [AB], on construit le carré AMNP et le rectangle NICJ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On pose $AM=x$ et on note $f\left(x\right)$ l'aire de la partie qui n'est pas hachurée.

1. Donner l'ensemble de définition de la fonction f.

2. La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

   À l'aide du graphique, déterminer :

   1. la position du point M pour que l'aire de la partie non hachurée soit maximale ;

   2. l'intervalle sur lequel l'aire de la partie non hachurée est inférieure à 20.

3. Montrer que la fonction f est définie par $f\left(x\right)=14x-2x^2$.

4. Calculer $f\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$. Est-il possible que l'aire de la partie non hachurée soit supérieure à ${\displaystyle \frac{99}{4}}$ ?

5. Déterminer les positions éventuelles du point M pour que l'aire de la partie non hachurée soit égale au double de l'aire du carré AMNP.

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