contrôle du 09 avril mars 2015

exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel $x\ne -2$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

2. 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

   2. On admet que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$. Donner le tableau de variations de la fonction f.

3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=-3$ et $g\left(3\right)=1$. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

4. 1. Montrer pour tout réel $x\ne -2$$f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-x^2}{x+2}}$.

   2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+5}{x-1}}$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont les parallèles aux axes du repère passant par le point I de coordonnées $\left(1;2\right)$.
Pour tout réel x de l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, on note M le point de la courbe $C_f$ d'abscisse x et on construit le rectangle INMP comme indiqué ci-dessous.

1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>2$.

2. 1. Exprimer en fonction de x, les distances IN et MN.

   2. Montrer que pour tout point M de la courbe $C_f$, l'aire du rectangle INMP est constante.

3. On veut déterminer les coordonnées du point M de la courbe $C_f$ pour le quadrilatère INMP soit un carré.

   1. Montrer que l'abscisse du point M est solution de l'équation ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2-7}{x-1}}=0$.

   2. Calculer les coordonnées du point M.

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