contrôle du 28 mai 2015

Exercice 1

ABCD est un tétraèdre. I, J et K sont trois points placés respectivement sur les arêtes [DA], [DB] et [DC].
La droite (JK) coupe le plan (ABC) en un point M.

1. Placer le point M.

2. Déterminer l'intersection d des plans (ABC) et (IJK).

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Exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

   1. Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, à quels réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont associés les sommets de cet hexagone ?

   2. Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des sommets de l'hexagone.

2. M est le point image du nombre réel ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ sur le cercle trigonométrique.

   1. Placer sur le cercle trigonométrique les points N et P images respectives des réels ${\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$ et ${\displaystyle \frac{9\pi }{5}}$.

   2. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$. Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points M, N et P.

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Exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.
A est le point du cercle trigonométrique image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et I le point de coordonnées $\left(1;0\right)$.

1. Calculer distance IA.

2. Montrer que $IA=2\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$. En déduire la valeur exacte de $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$.

3. Déterminer alors $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$, $\cos \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)$.

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Exercice 4

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

1. $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

2. $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

3. $1-2\cos x=0$.

4. $2{\sin }^{2}x-1=0$.

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Exercice 5

Déterminer l'aire du triangle ABC.

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