contrôles en terminale ES

contrôle du 8 octobre 2005

Corrigé de l'exercice 2

La figure ci-dessus donne la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ , dans un repère orthonormé. On note $f'$ sa dérivée.
On sait que :

La fonction f admet un minimum pour $x = - 1$ et un maximum pour $x = 1$ .
La droite d’équation $y = - \frac{1}{2}$ est asymptote à la courbe au voisinage de $- \infty$ et de $+ \infty$ .
Le point $A (0; - \frac{1}{2})$ appartient à la courbe 𝒞 et que la tangente en A à la courbe passe par le point de coordonnées $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

À partir du graphique et des renseignements fournis :

Déterminer, $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
La droite d’équation $y = - \frac{1}{2}$ est asymptote à la courbe au voisinage de $- \infty$ et de $+ \infty$ , alors :
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \frac{1}{2}$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \frac{1}{2}$ .
Déterminer, les valeurs de $f' (- 1)$ , $f' (0)$ et $f' (1)$ .
- Le théorème suivant permet de déterminer les valeurs de $f' (- 1)$ et $f' (1)$ .
  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I.
  Si f admet un extremum local en c, alors $f' (c) = 0$ .
  Par conséquent, $f' (- 1) = 0$ et $f' (1) = 0$ .
- Le nombre dérivé $f' (0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0.
  D'autre part, la tangente en A à la courbe passe par le point de coordonnées $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ . Donc $f' (0) = \frac{\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
  Ainsi, $f' (0) = 2$
Déterminer une équation de la tangente en A à la courbe 𝒞.
Une équation de la tangente au point A d'abscisse 0, à la courbe 𝒞 est donnée par la relation : $y = f' (0) \times (x - 0) + f (0)$
Soit $y = 2 x - \frac{1}{2}$
Étudier le signe de la dérivée $f'$ .
- Sur l'intervalle $] - \infty; - 1]$ la fonction f est décroissante alors pour tout réel x de $] - \infty; - 1]$ , $f' (x) ⩽ 0$ .
- Sur l'intervalle $[- 1; 1]$ la fonction f est croissante alors pour tout réel x de $[- 1; 1]$ , $f' (x) ⩾ 0$ .
- Sur l'intervalle $[1; + \infty [$ la fonction f est décroissante alors pour tout réel x de $[1; + \infty [$ , $f' (x) ⩽ 0$ .
D'où le tableau du signe de $f' (x)$
x − ∞ $- 1$ 1 $+ \infty$
Signe de $f' (x)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −

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x	− ∞		$- 1$		1		$+ \infty$
Signe de $f' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−