contrôle du 8 octobre 2005

Corrigé de l'exercice 3

1. Déterminer $\underset{x\to {-1}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, qu'en déduit-on pour la courbe ${𝒞}_f$ ?

   $\underset{x\to {-1}^{+}}{\lim }{x}^2+x+4=4$ et $\underset{x\to {-1}^{+}}{\lim }x+1=0^{+}$

   Alors $\underset{x\to {-1}^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x+4}{x+1}}=+\infty$. Par conséquent, la droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$.

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2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x+4}{x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$

   Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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3. Montrer que ${𝒞}_f$ admet une asymptote Δ d'équation y = x.
   Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la droite Δ.

   Étudions $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f\left(x\right)-x)$ :

   $f\left(x\right)-x={\displaystyle \frac{x^2+x+4}{x+1}}-x={\displaystyle \frac{x^2+x+4-x(x+1)}{x+1}}={\displaystyle \frac{4}{x+1}}$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x+1}}=0$

   Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f\left(x\right)-x)=0$. Donc la droite Δ d'équation y = x, est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

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   L'étude du signe de la différence $f\left(x\right)-x$ indique la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ par rapport à la droite Δ d'équation y = x.

   Or pour tout $x\in \left]-1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-x={\displaystyle \frac{4}{x+1}}$

   Comme $x\in \left]-1;+\infty \right[$, on a $x+1>4$ ; alors ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}>0$

   Donc la différence $f\left(x\right)-x$ est strictement positive sur $\left]-1;+\infty \right[$ et la courbe ${𝒞}_f$ est située au-dessus de la droite Δ.

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4. Calculer la dérivée de la fonction f.

   $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$

   Or $u\left(x\right)=x^2+x+4$ donc $u\prime \left(x\right)=2x+1$

   et $v\left(x\right)=x+1$ donc $v\prime \left(x\right)=1$

   donc $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{(2x+1)(x+1)-1\times (x^2+x+4)}{{(x+1)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2+3x+1-x^2-x-4}{{(x+1)}^2}}$

   Ainsi $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{{(x+1)}^2}}$

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5. Étudier les variations de f.

   Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée $f\prime$.

   Comme $x\in \left]-1;+\infty \right[$, on a $x+1>0$ ; alors le signe de $f\prime \left(x\right)$ est le même que celui du polynôme $x^2+2x-3$.

   Étude du signe du polynôme $x^2+2x-3$
   $\text{Δ}=4+12=16$ , le polynôme admet deux racines $x_1={\displaystyle \frac{-2-4}{2}}=-3$ et $x_2={\displaystyle \frac{-2+4}{2}}=1$.

   On en déduit le signe de $f\prime$ ainsi que les variations de la fonction f, sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$.

   x	$-1$				1		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			$+\infty$		3		$+\infty$

6. Donner une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0, est donnée par la relation : $$y=f\prime \left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$

   Or $f\prime \left(0\right)=-3$ et $f\left(0\right)=4$ alors, $y=-3x+4$

   Une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 est : $y=-3x+4$.

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7. Tracer la courbe ${𝒞}_f$ , la tangente T et la droite Δ sur le même graphique.

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