contrôles en terminale ES

contrôle du 5 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle $] 2; + \infty [$ par $f (x) = - x + 3 - \frac{4}{x - 2}$ . Elle est représentée dans un repère orthonormal du plan par la courbe $𝒞_{f}$ .

1) Une autre expression de f est : $- x + 3 - \frac{4}{x - 2} = \frac{(- x + 3) (x - 2) - 4}{x - 2} = \frac{- x^{2} + 2 x + 3 x - 6 - 4}{x - 2} = \frac{- x^{2} + 5 x - 10}{x - 2}$	$f (x) = - x + 3 - \frac{2}{x - 2}$ $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 10}{2 - x}$ $f (x) = \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{x - 2}$
2) Soit f ’ la dérivée de la fonction f sur l’intervalle $] 2; + \infty [$ . Une expression de $f' (x)$ est : On pose : $u (x) = - x + 3$ alors $u' (x) = - 1$ et $v (x) = \frac{4}{x - 2}$ alors $v' (x) = \frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}}$ Donc $f' (x) = - 1 + \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{4 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$	$f' (x) = - 1 - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$ $f' (x) = \frac{x (4 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ $f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$
3) La courbe $𝒞_{f}$ admet pour asymptote la droite d’équation : $\lim_{x \to 2^{+}} x - 2 = 0^{+}$ d'où $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{4}{x - 2} = + \infty$ Donc $\lim_{x \to 2^{+}} - x + 3 - \frac{4}{x - 2} = - \infty$ Ainsi la courbe $𝒞_{f}$ admet pour asymptote la droite d’équation $x = 2$	$y = 2$ $x = 2$ $y = 2 x$
4) La droite d’équation $y = - x + 3$ est : Étudions la limite en $+ \infty$ de $f (x) - (- x + 3)$ $f (x) - (- x + 3) = \frac{- 4}{x - 2}$ Or $\lim_{x \to + \infty} x - 2 = + \infty$ d'où $\lim_{x \to + \infty} - \frac{4}{x - 2} = 0$ Ainsi $\lim_{x \to + \infty} f (x) - (- x + 3) = 0$ d'où la droite d’équation $y = - x + 3$ est asymptote à $𝒞_{f}$ en $+ \infty$ .	asymptote à $𝒞_{f}$ située au-dessous de $𝒞_{f}$ tangente à $𝒞_{f}$
5) L'équation de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 1 est : Nous avons $f' (x) = \frac{x (4 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ d'où $f' (1) = \frac{1 \times (4 - 1)}{{(1 - 2)}^{2}} = 3$ . D'autre part, $f (1) = - 1 + 3 - \frac{4}{1 - 2} = 6$ Une équation de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 1 est : $y = 3 (x - 1) + 6$	$y = - x + 3$ $y = 3 x + 3$ $y = 3 x + 6$

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