contrôle du 5 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 2

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)$.

   • D'après le graphique : $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty$

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   • La droite d’équation $y=1$ est asymptote à la courbe au voisinage de $+\infty$, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=1$

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2. Déterminer les valeurs de $u\prime \left(2\right)$ et $u\prime \left(0\right)$.

   • Le nombre dérivé $u\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.

     Or le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est égal à ${\displaystyle \frac{9-5}{2-0}}=2$

     Donc $u\prime \left(2\right)=2$

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   • Graphiquement la droite d’équation $y=1$ est tangente à la courbe au point d'absisse 0.

     Donc $u\prime \left(0\right)=0$

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3. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}$ .

   1. Déterminer, en justifiant avec soin, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      f est la fonction composée u suivie de la fonction inverse. Utilisons le théorème sur les limites d'une fonction composée.α  , m et $𝓁$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : $f=u\circ v$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=𝓁$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=𝓁$.

      • $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty$ or $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=1$ or $\underset{X\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=1$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$

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   2. Donner les variations de la fonction f.

      Sur un intervalle où la fonction u est monotone, de signe constant et non nulle les fonctions u et ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ ont des variations contraires.

      À partir de la courbe représentative de la fonction u strictement positive sur $ℝ$, nous pouvons déduire les variations de la fonction f.

      x	– ∞		0		${\displaystyle \frac{8}{3}}$		$+\infty$
      Variations de $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$	0		1		${\displaystyle \frac{1}{u\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}}$		1

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   3. On note f ’ la dérivée de la fonction f, déterminer les valeurs de $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

      Sur un intervalle où la fonction u est non nulle et dérivable, la dérivée de la fonction ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ est $-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$

      Donc

      • $f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{u\prime \left(0\right)}{{u\left(0\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{0}{1^2}}=0$

      • $f\prime \left(2\right)=-{\displaystyle \frac{u\prime \left(2\right)}{{u\left(2\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{2}{9^2}}=-{\displaystyle \frac{2}{81}}$

      Ainsi $f\prime \left(0\right)=0$ et $f\prime \left(2\right)=-{\displaystyle \frac{2}{81}}$.

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   4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 2.

      Une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 2 est : $y=f\prime \left(2\right)(x-2)+f\left(2\right)$

      Or $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{u\left(2\right)}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$ d'où $y=-{\displaystyle \frac{2}{81}}(x-2)+{\displaystyle \frac{1}{9}}$ soit $y=-{\displaystyle \frac{2}{81}}x+{\displaystyle \frac{4}{81}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}$

      Une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 2 est : $y={\displaystyle \frac{13-2x}{81}}$

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