contrôles en terminale ES

contrôle du 5 novembre 2005

thèmes abordés

Limite et dérivée d'une fonction rationnelle.
Limite et dérivée de la composée de deux fonctions.
Recherche d'un coût moyen mimum.

exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle $] 2; + \infty [$ par $f (x) = - x + 3 - \frac{4}{x - 2}$ . Elle est représentée dans un repère orthonormal du plan par la courbe $𝒞_{f}$ .

1) Une autre expression de f est :	$f (x) = - x + 3 - \frac{2}{x - 2}$ $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 10}{2 - x}$ $f (x) = \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{x - 2}$
2) Soit f ’ la dérivée de la fonction f sur l’intervalle $] 2; + \infty [$ . Une expression de $f' (x)$ est :	$f' (x) = - 1 - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$ $f' (x) = \frac{x (4 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ $f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$
3) La courbe $𝒞_{f}$ admet pour asymptote la droite d’équation :	$y = 2$ $x = 2$ $y = 2 x$
4) La droite d’équation $y = - x + 3$ est :	asymptote à $𝒞_{f}$ située au-dessous de $𝒞_{f}$ tangente à $𝒞_{f}$
5) L'équation de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point A d'abscisse 1 est :	$y = - x + 3$ $y = 3 x + 3$ $y = 3 x + 6$

exercice 2

La courbe $(𝒞_{u})$ , ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction u définie et dérivable sur $ℝ$ dans un repère orthogonal du plan $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ .

On sait que :

La tangente à la courbe au point $A (2; 9)$ passe par le point de coordonnées $(0; 5)$ .
La droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe au voisinage de $+ \infty$ .
La fonction u admet un minimum pour $x = 0$ .

À partir du graphique et des renseignements fournis :

Déterminer $\lim_{x \to - \infty} u (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} u (x)$ .
Déterminer les valeurs de $u' (2)$ et $u' (0)$ .
Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{1}{u (x)}$ .
1. Déterminer, en justifiant avec soin, $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
2. Donner les variations de la fonction f.
3. On note f ’ la dérivée de la fonction f, déterminer les valeurs de $f' (0)$ et $f' (2)$ .
4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 2.

exercice 3

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle $[0; + \infty [$ par : $f (x) = x^{3} - 19 x^{2} + 130 x + 100$ .

La fonction f modélise sur l'intervalle $] 0; 16]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.

Pour tout x dans l'intervalle $] 0; 16]$ , le quotient $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.

Pour x dans l'intervalle $] 0; 16]$ , soit A le point d'abscisse x de la représentation graphique (Γ) de la fonction f.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x}$ .
L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
1. Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
2. On note C ’ la dérivée de la fonction x→CM⁡(x).
  - Calculer $C' (x)$ et vérifier que pour x dans l’intervalle $] 0; 16]$ : $C' (x) = \frac{(x - 10) (2 x^{2} + x + 10)}{x^{2}}$ .
  - Étudier les variations de la fonction $x \to C_{M} (x)$ sur $] 0; 16]$ .
  - En déduire la valeur de x qui minimise le coût moyen.

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