contrôles en terminale ES

contrôle du 5 novembre 2005

thèmes abordés

  • Limite et dérivée d'une fonction rationnelle.
  • Limite et dérivée de la composée de deux fonctions.
  • Recherche d'un coût moyen mimum.

exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0
.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]2;+[ par f(x)=-x+3-4x2 . Elle est représentée dans un repère orthonormal du plan par la courbe 𝒞f .


1) Une autre expression de f est :

  • f(x)=-x+3-2x-2
  • f(x)=x2-5x+102-x
  • f(x)=-x2+5x-6x-2

2) Soit f ’ la dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]2;+[.
Une expression de f(x) est :

  • f(x)=14(x2)2
  • f(x)=x(4x)(x2)2
  • f(x)=x2+4x+4(x-2)2

3) La courbe 𝒞f admet pour asymptote la droite d’équation :

  • y=2
  • x=2
  • y=2x

4) La droite d’équation y=-x+3 est :

  • asymptote à 𝒞f
  • située au-dessous de 𝒞f
  • tangente à 𝒞f

5) L'équation de la tangente à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 1 est :

  • y=-x+3
  • y=3x+3
  • y=3x+6

exercice 2

Courbe représentative de la fonction u : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La courbe (𝒞u), ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction u définie et dérivable sur dans un repère orthogonal du plan (O;i;j) .

On sait que :
- La tangente à la courbe au point A (2;9) passe par le point de coordonnées (0 ;5).
- La droite d’équation y=1 est asymptote à la courbe au voisinage de + ∞.
- La fonction u admet un minimum pour x=0.

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer limx-u(x) et limx+u(x).
  2. Déterminer les valeurs de u(2) et u(0).
  3. Soit f la fonction définie sur par f(x)=1u(x) .

    1. Déterminer, en justifiant avec soin, limx-f(x) et limx+f(x).
    2. Donner les variations de la fonction f.
    3. On note f ’ la dérivée de la fonction f, déterminer les valeurs de f(0) et f(2).
    4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 2.

exercice 3

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle [0;+[ par : f(x)=x319x2+130x+100.

La fonction f modélise sur l'intervalle ]0 ; 16] la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour tout x dans l'intervalle ]0 ; 16], le quotient CM(x)=f(x)x est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.

  1. Pour x dans l'intervalle ]0 ; 16], soit A le point d'abscisse x de la représentation graphique (Γ) de la fonction f.
    Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen CM(x)=f(x)x.

  2. L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
    1. Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
    2. On note C ’ la dérivée de la fonction xCM(x).
      • Calculer C(x) et vérifier que pour x dans l’intervalle ]0 ; 16] : Cx=x102x2+x+10x2.
      • Étudier les variations de la fonction xCM(x) sur ]0 ; 16].
      • En déduire la valeur de x qui minimise le coût moyen.


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✉ A.Yallouz

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