contrôles en terminale ES

contrôle du 30 septembre 2006

thèmes abordés

  • Limites et asymptotes.
  • Limite d'une fonction composée.
  • Théorème de la valeur intermédiaire.
  • Dérivée d'une fonction.

exercice 1

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur .
Les droites D et Δ sont les asymptotes respectivement en - et en +.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner une équation de la droite Δ.

  2. Quelles sont les limites de f en - et en + ?

  3. Quelle est la limite en + de fx+x-2 ?


exercice 2

La courbe Cu, ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur dans un repère orthonormé du plan, telle que u1=0.

Courbe représentative de la fonction u : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer, limx-u(x) et limx+u(x).

  2. Soit f la fonction définie sur ]-;1[ par fx=1ux.
    Déterminer, en justifiant avec soin, limx-f(x) et limx1x<1fx .


exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]2;+[ par : f(x)=x2-x-2x2+x-6.

  1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

    Aide : Vérifier quex-2x+1=x2-x-2et quex-2x+3=x2+x-6.

  2. Le cas échéant, déduire des résultats trouvés l'existence d'asymptote(s) à la courbe 𝒞f, sa courbe représentative dans un repère.


exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]1;+[ par : f(x)=-2x3+x2+2x+1x2-1. On note 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Étudiez les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

  2. Déterminez les réels a,b et c tels que f(x)=ax+b+cx2-1.

  3. Soit D la droite d'équation y=-2x+1. Montrez que D est asymptote à la courbe 𝒞f en +.

  4. La courbe 𝒞f admet une deuxième asymptote. Quelle est son équation ?

  5. Voici le tableau de variation de la fonction f :

    x1 + ∞
    fx fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    1. Faites figurer les limites trouvées dans le tableau.

    2. Montrez que l'équation fx=0, admet une solution unique α, α[1,4;1,5].

    3. Donnez, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α à 10-2 près.


exercice 5

Soit f la fonction définie sur par : f(x)=13x3+x2-2x-1. On note 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Étudier la limite de f en - et en +.

  2. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer fx.

    2. Étudier le signe de fx.

    3. Dresser le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs arrondies au dixième des extremums de f obtenues à l'aide de la calculatrice.)

  3. Montrer que l'équation fx=7, admet une solution unique α.
    Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur de α arrondie au dixième.



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✉ A.Yallouz

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