contrôle du 30 septembre 2006

exercice 1

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$.
Les droites D et Δ sont les asymptotes respectivement en $-\infty$ et en $+\infty$.

1. Donner une équation de la droite Δ.

2. Quelles sont les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$ ?

3. Quelle est la limite en $+\infty$ de $f\left(x\right)+x-2$ ?

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exercice 2

La courbe $\left(C_u\right)$, ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur $ℝ$ dans un repère orthonormé du plan, telle que $u\left(1\right)=0$.

À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer, $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)$.

2. Soit f la fonction définie sur $]-\infty ;1[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}$.
   Déterminer, en justifiant avec soin, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{\underset{x<1}{x\to 1}}{\lim }f\left(x\right)$ .

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x^2+x-6}}$.

1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

   Aide : Vérifier que$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=x^2-x-2$et que$\left(x-2\right)\left(x+3\right)=x^2+x-6$.

2. Le cas échéant, déduire des résultats trouvés l'existence d'asymptote(s) à la courbe ${𝒞}_f$, sa courbe représentative dans un repère.

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exercice 4

Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^3+x^2+2x+1}{x^2-1}}$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Étudiez les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

2. Déterminez les réels a,b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x^2-1}}$.

3. Soit D la droite d'équation $y=-2x+1$. Montrez que D est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

4. La courbe ${𝒞}_f$ admet une deuxième asymptote. Quelle est son équation ?

5. Voici le tableau de variation de la fonction f :

   x	1		$+\infty$
   $f\left(x\right)$

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   1. Faites figurer les limites trouvées dans le tableau.

   2. Montrez que l'équation $f\left(x\right)=0$, admet une solution unique α, $\alpha \in [\mathrm{1,4};\mathrm{1,5}]$.

   3. Donnez, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α à 10^-2 près.

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exercice 5

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2-2x-1$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Étudier la limite de f en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   3. Dresser le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs arrondies au dixième des extremums de f obtenues à l'aide de la calculatrice.)

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=7$, admet une solution unique α.
   Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur de α arrondie au dixième.

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