contrôles en terminale ES

contrôle du 17 janvier 2007

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ : $(x - 2) (x + 3) = 3 x + 2$
Pour tour réel x, $\begin{array}{l} (x - 2) (x + 3) = 3 x + 2 & \Leftrightarrow & (x - 2) (x + 3) - 3 x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & (x^{2} + 3 x - 2 x - 6) - 3 x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & x^{2} - 2 x - 8 = 0 \end{array}$
$Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \times 1 \times (- 8) = 36$
$Δ > 0$ alors, l'équation $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ admet deux solutions $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2 & et & x_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \end{array}$
L'ensemble des solutions de l'équation $(x - 2) (x + 3) = 3 x + 2$ est $S = {- 2; 4}$ .
En déduire les solutions de l'équation : $\ln (x - 2) + \ln (x + 3) = \ln (3 x + 2)$
La fonction ln est définie sur $] 0; + \infty [$ par conséquent :
- $\ln (x - 2)$ existe pour $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ .
- $\ln (x + 3)$ existe pour $x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 3$ .
- $\ln (3 x + 2)$ existe pour $3 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$ .
Donc l'équation $\ln (x - 2) + \ln (x + 3) = \ln (3 x + 2)$ est définie sur $] 2; + \infty [$ .
Pour tour réel x de l'intervalle $] 2; + \infty [$ , $\begin{matrix} \ln (x - 2) + \ln (x + 3) = \ln (3 x + 2) & \Leftrightarrow & \ln (x - 2) (x + 3) = \ln (3 x + 2) \\ \Leftrightarrow & (x - 2) (x + 3) = 3 x + 2 \end{matrix}$
Ainsi, les solutions de l'équation $\ln (x - 2) + \ln (x + 3) = \ln (3 x + 2)$ sont les réels $x > 2$ , solutions de l'équation $(x - 2) (x + 3) = 3 x + 2$ .
D'après la question précédente, l'équation $\ln (x - 2) + \ln (x + 3) = \ln (3 x + 2)$ admet une seule solution $x = 4$ .

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