contrôles en terminale ES

contrôle du 17 janvier 2007

Corrigé de l'exercice 4

Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative Cf d'une fonction f  dérivable sur .

  • Les points E(1;0), A(-1;e) et B(-2;2) sont des points de Cf.
  • La tangente à Cf en A est parallèle à l'axe des abscisses.
  • La tangente à Cf en B passe par C(-4;0).
  • La droite d'équation y=1 est asymptote à Cf en -.
  • La fonction f est strictement croissante sur ]-;-1] et strictement décroissante sur [-1;+[.
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Donner les valeurs de f(-2),f(-1),f(1) ainsi que la limite de f en -.

      Dire que le point M(x;y) est sur la courbe représentative de la fonction f  signifie que y=f(x).

      • Le point B(-2;2) est sur la courbe Cf alors, f(-2)=2.


      • Le point A(-1;e) est sur la courbe Cf alors, f(-1)=e.


      • Le point E(1;0) est sur la courbe Cf alors, f(1)=0.


      La droite d'équation y=1 est asymptote à Cf en - alors, limx-f(x)=1.


    2. Donner, en justifiant vos réponses, les nombres f(-1) et f(-2).

      • Graphiquement, le nombre dérivé f(-1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse − 1.

        Or la tangente à Cf au point A(-1;e) est parallèle à l'axe des abscisses.

        Donc f(-1)=0


      • Le nombre dérivé f(-2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse − 2.

        Or la tangente à Cf au point B(-2;2) passe par C(-4;0). Donc le coefficient directeur de la droite (BC) est égal à :0-2-4-(-2)=1

        Ainsi, f(-2)=1


  1. Soit g la fonction définie par g(x)=ln[f(x)] et Γ sa représentation graphique.

    1. Déterminer l'intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en en - et 1.

      La fonction ln est définie sur ]0;+[ par conséquent, la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction ln, est définie sur tout intervalle où la fonction f  est strictement positive.

      La fonction g est définie sur l'intervalle I=]-;1[.


      Calculons les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition, à l'aide du théorème sur les limites des fonctions composées :u , v et f sont trois fonctions telles que f=uv. α  , m et l désignent des nombres réels ou + ou - ∞
      Si limxαu(x)=m et  limXmv(X)=l alors  limxαf(x)=l.

      limx-f(x)=1 et limX1ln(X)=0 alors, limx-g(x)=0.

      limx1-f(x)=0 et limX0ln(X)=- alors, limx1g(x)=-.

      limx-g(x)=0 et limx1g(x)=-.


      En déduire les asymptotes à la courbe Γ en précisant une équation pour chacune d'elles.

      limx-g(x)=0 alors, la droite d'équation y=0 est asymptote à la courbe Γ en -.


      limx1g(x)=- alors, la droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe Γ.


    2. Exprimer g(x) à l'aide de f(x) et f(x). En déduire le tableau de variations de g.

      g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u :Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
      La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est (lnu)=uu.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-;1[, g(x)=f(x)f(x).


      Sur l'intervalle ]-;1[ la fonction f  est strictement positive. Par conséquent, le signe de la dérivée g est celui de f. Ainsi, la fonction g a les mêmes variations que la fonction f 

      D'où le tableau des variations de g :

      x- −1 1
      Signe de g '  +0 
      Variations de g  

      -

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      ln(e)=1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0


    3. Déterminer g(-2) et g(-2) puis une équation de la tangente à Γ au point B d'abscisse − 2.

      g(-2)=ln[f(-2)]=ln2 et g(-2)=f(-2)f(-2)=12.

      Une équation de la tangente à Γ au point B d'abscisse − 2 est :y=g(-2)×(x-(-2))+g(-2)=12×(x+2)+ln2=x2+1+ln2

      La tangente à Γ au point B d'abscisse − 2 a pour équation y=x2+1+ln2.



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