Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction f dérivable sur .
Donner les valeurs de ainsi que la limite de f en .
Dire que le point est sur la courbe représentative de la fonction f signifie que .
Le point est sur la courbe alors, .
Le point est sur la courbe alors, .
Le point est sur la courbe alors, .
La droite d'équation est asymptote à en alors, .
Donner, en justifiant vos réponses, les nombres .
Graphiquement, le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse − 1.
Or la tangente à au point est parallèle à l'axe des abscisses.
Donc
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse − 2.
Or la tangente à au point passe par . Donc le coefficient directeur de la droite (BC) est égal à :
Ainsi,
Soit g la fonction définie par et Γ sa représentation graphique.
Déterminer l'intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en en et 1.
La fonction ln est définie sur par conséquent, la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction ln, est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive.
La fonction g est définie sur l'intervalle .
Calculons les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition, à l'aide du théorème sur les limites des fonctions composées :u , v et f sont trois fonctions telles que . α , m et l désignent des nombres réels ou ou - ∞
Si et alors .
et alors, .
et alors, .
.
En déduire les asymptotes à la courbe Γ en précisant une équation pour chacune d'elles.
alors, la droite d'équation est asymptote à la courbe Γ en .
alors, la droite d'équation est asymptote à la courbe Γ.
Exprimer à l'aide de . En déduire le tableau de variations de g.
g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u :Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est .
Pour tout réel x de l'intervalle , .
Sur l'intervalle la fonction f est strictement positive. Par conséquent, le signe de la dérivée est celui de . Ainsi, la fonction g a les mêmes variations que la fonction f
D'où le tableau des variations de g :
x | −1 | 1 | ||||
Signe de g ' | + | 0 | − | |||
Variations de g | 0 |
Déterminer puis une équation de la tangente à Γ au point B′ d'abscisse − 2.
.
Une équation de la tangente à Γ au point B′ d'abscisse − 2 est :
La tangente à Γ au point B′ d'abscisse − 2 a pour équation .
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