contrôle du 17 janvier 2007

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. 1. Étudier la limite de f en 0.

      $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0^{+}$ (un carré est toujours positif ) alors par quotient, $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=-\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

      ---

   2. Étudier la limite de f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ nous sommes en présence de la forme indéterminée ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$.

      Or, ${\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$

      D'après le théorème du cours $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$.

      D'autre part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ alors par produit $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

      ---

   3. La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors, la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors, la droite d'équation $x=0$ est asymptote à la courbe $C_f$.

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2. 1. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}$

      Sur son intervalle de définition, f est de la forme ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec : $$\begin{array}{lll}u\left(x\right)=\ln x& \text{et}& v\left(x\right)=x^2\end{array}$$

      On utilise la formule de la dérivée du quotient de deux fonctions : $$f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$$

      Ici, $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et  $v\prime \left(x\right)=2x$. Donc :$$\begin{array}{llll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x^2-2x\times \ln x}{{\left(x^2\right)}^2}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{x-2x\ln x}{x^4}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{x\left(1-2\ln x\right)}{x^4}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}& \text{Car }x\ne 0\end{array}$$

      La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour étudier les variations de la fonction f, on étudie le signe de la dérivée.

      Comme $x>0$, alors le signe de $f\prime \left(x\right)$ est celui de $1-2\ln x$.

      Or $$\begin{array}{llll}1-2\ln x⩽0& \iff & -2\ln x⩽-1& \\ & \iff & \ln x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}& \\ & \iff & \ln x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{e}& \text{Car }\ln \mathrm{e}=1\\ & \iff & \ln x⩾\ln \sqrt{\mathrm{e}}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif, }{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln a=\ln \sqrt{a}\\ & \iff & x⩾\sqrt{\mathrm{e}}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\end{array}$$

      Tableau des variations de la fonction f :

      x	0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
      Signe de f '			+	0	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}}$		0

      ---

      Calcul du maximum :$$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}{{\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\mathrm{e}}}={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}}$$

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3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est donnée par la relation :$$y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln 1}{1^3}}=1& \text{ et }& f\left(1\right)={\displaystyle \frac{\ln 1}{1^2}}=0\end{array}$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=x-1$.

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4. Tracer la courbe $C_f$ ainsi que la droite T dans le repère ci-dessous.

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