contrôles en terminale ES

contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 1

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée Cf d'une fonction f dérivable sur 0+. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que :

  • les droites d'équation x=0 et y=0 sont asymptotes à la courbe Cf ;
  • la courbe Cf admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point A d'abscisse 1 ;
  • la tangente à la courbe Cf au point B232 passe par le point de coordonnées 40.
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

    1. Déterminer limx0fx et limx+fx.

      La droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe Cf alors d'après l'allure de la courbe, limx0fx=+


      La droite d'équation y=0 est asymptote à la courbe Cf en + ∞ alors, limx+fx=0


    2. Déterminer f1, f2, f1 et f2.

      • D'après le graphique, l'ordonnée du point A est égale à 2 donc f1=2

      • B232 est un point de la courbe Cf donc f2=32

      • Le nombre dérivé f1 est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.

        Or la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc f1=0

      • Le nombre dérivé f2 est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
        Or la tangente à la courbe Cf au point B232 passe par le point de coordonnées 40 son coefficient directeur est donc a=0-324-2=-34 Ainsi, f2=-34


  2. On considère la fonction g inverse de la fonction f. C'est-à-dire la fonction g définie sur 0+ par gx=1fx.

    1. Quel est le sens de variation de la fonction g sur 0+ ?

      Les fonctions f et 1f ont des variations contraires sur un intervalle où la fonction f ne s'annule pas.

      Sur l'intervalle 0+ , la fonction f est strictement positive et décroissante donc :

      la fonction g inverse de la fonction f est croissante sur l'intervalle 0+.


    2. Déterminer les valeurs de g1 et g2.

      Sur l'intervalle ]0;+[ la fonction f est dérivable et non nulle alors, la fonction g=1f est dérivable et g=-ff2.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, gx=-fxfx2 .

      Donc g1=-f1f12=-022=0

      et g2=-f2f22=--34322=34×49=13

      Ainsi, g0=0 et g2=13.


    3. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est :y=g2×q-2+g2

      Or g2=13 et g2=1f2=132=23

      D'où y=13×x-2+23y=x3-23+23y=x3

      La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 a pour équation y=x3


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Courbe représentative de la fonction g


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