contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 1

1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

   1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      La droite d'équation $x=0$ est asymptote à la courbe $C_f$ alors d'après l'allure de la courbe, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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      La droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

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   2. Déterminer $f\left(1\right)$, $f\left(2\right)$, $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

      • D'après le graphique, l'ordonnée du point A est égale à 2 donc $f\left(1\right)=2$

      • $B\left(2;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ est un point de la courbe $C_f$ donc $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.

        Or la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(1\right)=0$

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
        Or la tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left(2;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(4;0\right)$ son coefficient directeur est donc $$a={\displaystyle \frac{0-{\displaystyle \frac{3}{2}}}{4-2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ Ainsi, $f\prime \left(2\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

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2. On considère la fonction g inverse de la fonction f. C'est-à-dire la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$.

   1. Quel est le sens de variation de la fonction g sur $\left]0;+\infty \right[$ ?

      Les fonctions f et ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ ont des variations contraires sur un intervalle où la fonction f ne s'annule pas.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , la fonction f est strictement positive et décroissante donc :

      la fonction g inverse de la fonction f est croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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   2. Déterminer les valeurs de $g\prime \left(1\right)$ et $g\prime \left(2\right)$.

      Sur l'intervalle $]0;+\infty [$ la fonction f est dérivable et non nulle alors, la fonction $g={\displaystyle \frac{1}{f}}$ est dérivable et $g\prime =-{\displaystyle \frac{f\prime }{f^2}}$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $]0;+\infty [$, $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{{\left(f\left(x\right)\right)}^2}}$ .

      Donc $$\begin{array}{lllllll}g\prime \left(1\right)& =& -{\displaystyle \frac{f\prime \left(1\right)}{{\left(f\left(1\right)\right)}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{0}{2^2}}& =& 0\end{array}$$

      et $$\begin{array}{lllllllll}g\prime \left(2\right)& =& -{\displaystyle \frac{f\prime \left(2\right)}{{\left(f\left(2\right)\right)}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{3}{4}}}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{9}}& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime \left(0\right)=0$ et $g\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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   3. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est :$$y=g\prime \left(2\right)\times \left(q-2\right)+g\left(2\right)$$

      Or $g\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $g\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(2\right)}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

      D'où $$\begin{array}{lll}y={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left(x-2\right)+{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & y={\displaystyle \frac{x}{3}}\end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 a pour équation $y={\displaystyle \frac{x}{3}}$

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