contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 3

partie a

1. Vérifier que pour tout réel x, $x^3+3x^2-54=\left(x-3\right)\left(x^2+6x+18\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}\left(x-3\right)\left(x^2+6x+18\right)& =& x^3+6x^2+18x-3x^2-18x-54\\ & =& x^3+3x^2-54\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $x^3+3x^2-54=\left(x-3\right)\left(x^2+6x+18\right)$.

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2. En déduire le signe du polynôme $P\left(x\right)=x^3+3x^2-54$.

   $P\left(x\right)=x^3+3x^2-54$. D'après la question précédente, nous devons étudier le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x^2+6x+18\right)$

   $x^2+6x+18$ est un polynôme du second degré avec $a=1$, $b=6$ et $c=18$. $\mathrm{\Delta }=6^2-4\times 1\times 18=-36$.

   Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Donc pour tout réel x, $x^2+6x+18>0$ .
   Par conséquent, le polynôme $P\left(x\right)$ est du même signe que $x-3$. $$\begin{array}{ccc}x-3<0& \iff & x<3\end{array}$$

   D'où le tableau de signe de P :

   x	$-\infty$		3		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		−	0	+

partie b

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de $\left]0;5\right]$. Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression :$$f\left(q\right)={\displaystyle \frac{q^3+6q^2+12q+108}{12q}}$$

1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4200 pièces ?

   Pour une production de 4200 pièces, le prix de revient d'une pièce est :$$f\left(\mathrm{4,2}\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{4,2}}^3+6\times {\mathrm{4,2}}^2+12\times \mathrm{4,2}+108}{12\times \mathrm{4,2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{338,328}}{\mathrm{50,4}}}$$

   D'où un coût total de production en euros de : $${\displaystyle \frac{\mathrm{338,328}}{\mathrm{50,4}}}\times 4200=28194$$

   La production de 4200 pièces revient à 28 194 €.

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2. On désigne par $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(q\right)$

      Sur l'intervalle $\left]0;5\right]$, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]0;5\right]$ par : $$\begin{array}{lrll}& u\left(q\right)=q^3+6q^2+12q+108& \text{d'où}& u\prime \left(q\right)=3q^2+12q+12\\ \text{et}& v\left(q\right)=12q& \text{d'où}& v\prime \left(q\right)=12\end{array}$$

      Donc sur l'intervalle $\left]0;5\right]$, $$\begin{array}{llll}f\prime \left(q\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(3q^2+12q+12\right)\times 12q-12\times \left(q^3+6q^2+12q+108\right)}{{\left(12q\right)}^2}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{\left(3q^2+12q+12\right)\times q-\left(q^3+6q^2+12q+108\right)}{12q^2}}& \text{Simplification par }12\\ & =& {\displaystyle \frac{3q^3+12q^2+12q-q^3-6q^2-12q-108}{12q^2}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{2q^3+6q^2-108}{12q^2}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{q^3+3q^2-54}{6q^2}}& \text{Simplification par }2\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;5\right]$ par $f\prime \left(q\right)={\displaystyle \frac{q^3+3q^2-54}{6q^2}}$.

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   2. En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f.

      Pour tout réel $q>0$, $6q^2>0$. Donc sur l'intervalle $\left]0;5\right]$, $f\prime \left(q\right)$ est du même signe que $P\left(q\right)$ . Les variations de f se déduisant du signe de sa dérivée, nous obtenons le tableau des variations de f suivant :

      q	0			3		5
      Signe de f '			̅	0	+
      $f\left(q\right)$				6,25

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      Calcul du minimum :$$f\left(3\right)={\displaystyle \frac{3^3+6\times 3^2+12\times 3+108}{12\times 3}}={\displaystyle \frac{225}{36}}={\displaystyle \frac{25}{4}}=\mathrm{6,25}$$

   3. En déduire le nombre d'unités à fabriquer pour que le prix de revient d'une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ?

      D'après la question précédente, la fonction f admet un minimum pour $q=3$. Soit pour une production de 3000 pièces.

      Le coût total de production en euros s'élève à : $$\mathrm{6,25}\times 3000=18750$$

      Le prix de revient d'une pièce est minimal pour une production de 3000 pièces. Le coût total de production est alors de 18 750 €.

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