contrôles en terminale ES

contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 3

partie a

  1. Vérifier que pour tout réel x, x3+3x2-54=x-3x2+6x+18.

    Pour tout réel x, x-3x2+6x+18=x3+6x2+18x-3x2-18x-54=x3+3x2-54

    Ainsi, pour tout réel x, x3+3x2-54=x-3x2+6x+18.


  2. En déduire le signe du polynôme Px=x3+3x2-54.

    Px=x3+3x2-54. D'après la question précédente, nous devons étudier le signe du produit x-3x2+6x+18

    x2+6x+18 est un polynôme du second degré avec a=1, b=6 et c=18. Δ=62-4×1×18=-36.

    Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Donc pour tout réel x, x2+6x+18>0 .
    Par conséquent, le polynôme Px est du même signe que x-3. x-3<0x<3

    D'où le tableau de signe de P :

     x - 3 +
    Px 0+ 

partie b

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de 05. Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression :fq=q3+6q2+12q+10812q

  1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4200 pièces ?

    Pour une production de 4200 pièces, le prix de revient d'une pièce est :f4,2=4,23+6×4,22+12×4,2+10812×4,2=338,32850,4

    D'où un coût total de production en euros de : 338,32850,4×4200=28194

    La production de 4200 pièces revient à 28 194 €.


  2. On désigne par f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer fq

      Sur l'intervalle 05, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle 05 par : uq=q3+6q2+12q+108 d'oùuq=3q2+12q+12etvq=12q d'oùvq=12

      Donc sur l'intervalle 05, fq=3q2+12q+12×12q-12×q3+6q2+12q+10812q2=3q2+12q+12×q-q3+6q2+12q+10812q2Simplification par 12=3q3+12q2+12q-q3-6q2-12q-10812q2=2q3+6q2-10812q2=q3+3q2-546q2Simplification par 2

      Ainsi, f est la fonction définie sur 05 par fq=q3+3q2-546q2.


    2. En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f.

      Pour tout réel q>0, 6q2>0. Donc sur l'intervalle 05, fq est du même signe que Pq . Les variations de f se déduisant du signe de sa dérivée, nous obtenons le tableau des variations de f suivant :

       q 0  3 5
       Signe de f '   ̅0+ 

      fq

        fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      6,25

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      Calcul du minimum :f3=33+6×32+12×3+10812×3=22536=254=6,25

    3. En déduire le nombre d'unités à fabriquer pour que le prix de revient d'une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ?

      D'après la question précédente, la fonction f admet un minimum pour q=3. Soit pour une production de 3000 pièces.

      Le coût total de production en euros s'élève à : 6,25×3000=18750

      Le prix de revient d'une pièce est minimal pour une production de 3000 pièces. Le coût total de production est alors de 18 750 €.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.