contrôles en terminale ES

contrôle du 20 octobre 2007

thèmes abordés

  • Limites : limite d'une fonction composée, asymptotes.
  • Fonction composée : limites, dérivée.
  • Étude du signe d'un polynôme, Étude d'une fonction rationnelle, dérivée, variations.

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée Cf d'une fonction f dérivable sur 0+. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

    1. Déterminer limx0fx et limx+fx.

    2. Déterminer f1, f2, f1 et f2.

  2. On considère la fonction g inverse de la fonction f. C'est-à-dire la fonction g définie sur 0+ par gx=1fx.

    1. Quel est le sens de variation de la fonction g sur 0+ ?

    2. Déterminer les valeurs de g1 et g2.

    3. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2.


exercice 2

Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=2x-13.

  1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.

  2. Déterminer fx.

  3. Étudier les variations de la fonction f.


exercice 3

partie a

  1. Vérifier que pour tout réel x, x3+3x2-54=x-3x2+6x+18.

  2. En déduire le signe du polynôme Px=x3+3x2-54.

partie b

Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de 05.
Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l'expression :fq=q3+6q2+12q+10812q

  1. Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4200 pièces ?

  2. On désigne par f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer fq

    2. En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f.

    3. En déduire le nombre d'unités à fabriquer pour que le prix de revient d'une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ?



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✉ A.Yallouz

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