contrôles en terminale ES

contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=2x-13.

  1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.

    • limx0+2x-1=+ et limX+X3=+ alors limx0+2x-13=+

      Ainsi, limx0+fx=+. La courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite d'équation x=0.


    • limx+2x-1=-1 et limX-1X3=-1 alors limx+2x-13=-1

      Ainsi, limx+fx=-1. La droite d'équation y=-1 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f en + ∞.


  2. Déterminer fx.

    Pour tout réel x>0, posons ux=2x-1 d'où ux=-2x2.

    f=u3 d'où f=3×u2×u. Soit pour tout réel x>0, fx=3×2x-12×-2x2=-6x2×2-xx2

    f est la fonction définie sur 0+ par fx=-6x2×2-xx2.


    remarque

    Pour tout réel x0, -6x2×2-xx2=-6x2×2-x2x2=-62-x2x4

    D'où fx=-62-x2x4.


  3. Étudier les variations de la fonction f.

    Pour tout réel x>0, -6x2<0 et 2-xx20 . Donc sur l'intervalle 0+, fx0.

    Ainsi, la fonction f est décroissante sur 0+.


Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Courbe représentative de la fonction f


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