contrôles en terminale ES

contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f⁡(x)=(2x-1)3.

  1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.

    • limx→0+2x-1=+∞ et limX→+∞X3=+∞ alors limx→0+(2x-1)3=+∞

      Ainsi, limx→0+f⁡(x)=+∞. La courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite d'équation x=0.

    • limx→+∞2x-1=-1 et limX→-1X3=-1 alors limx→+∞(2x-1)3=-1

      Ainsi, limx→+∞f⁡(x)=-1. La droite d'équation y=-1 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f en +∞.

  2. Déterminer f′⁡(x).

    Pour tout réel x>0, posons u⁡(x)=2x-1 d'où u′⁡(x)=-2x2.

    f=u3 d'où f′=3×u2×u′. Soit pour tout réel x>0, f′⁡(x)=3×(2x-1)2×(-2x2)=-6x2×(2-xx)2

    f′ est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f′⁡(x)=-6x2×(2-xx)2.

    remarque

    Pour tout réel x≠0, -6x2×(2-xx)2=-6x2×(2-x)2x2=-6⁢(2-x)2x4

    D'où f′⁡(x)=-6⁢(2-x)2x4.

  3. Étudier les variations de la fonction f.

    Pour tout réel x>0, -6x2<0 et (2-xx)2⩾0 . Donc sur l'intervalle ]0;+∞[, f′⁡(x)⩽0.

    Ainsi, la fonction f est décroissante sur ]0;+∞[.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Courbe représentative de la fonction f

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