contrôles en terminale ES

contrôle du 26 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 2

Dans chaque cas, trouver une primitive F de la fonction f.

f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2}}$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $\begin{array}{l} \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2}} & = & \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \\ = & 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} \end{array}$
Soit $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ . En appliquant les formules établissant les primitives des fonctions usuelles :
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = x + \ln x + \frac{2}{x}$ .
f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 2}$ .
Soit u la fonction définie sur $ℝ$ par $u (x) = x^{2} + 2$ d'où $u' (x) = 2 x$
$f (x) = \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{x^{2} + 2}$ . Soit $f = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ d'où une primitive F est de la forme $F = \frac{1}{2} \ln u$ .
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $ℝ$ par $F (x) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2)$ .

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