contrôle du 26 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. À partir du graphique, quel semble être :

   1. le tableau des variations de la fonction f ;

      Tableau des variations de la fonction f établi à partir de la courbe représentative :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		3		$+\infty$
      $f\left(x\right)$

      ---

   2. le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ ?

      Il semblerait que la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.

      Avec la précision permise par le dessin, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.

      ---

2. Étude de la fonction f :

   1. Calculer la limite de f en $-\infty$ ; on admettra que la limite de f en $+\infty$ est $+\infty$.

      Nous avons :

      • $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3}{5}}x=-\infty$
      • $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2+1=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln X=+\infty$ donc par composition $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left(x^2+1\right)=+\infty$

      Par somme des limites, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3}{5}}x-\ln \left(x^2+1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-\infty$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

      ---

   2. Démontrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2-10x+3}{5x^2+5}}$.

      • Calculons la dérivée de la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$

        g est la composée de la fonction u définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=x^2+1$ suivie de la fonction ln. La fonction u est dérivable et strictement positive sur $ℝ$ alors, d'après le théorème sur la dérivée de ln u Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
        La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

        g est dérivable sur $ℝ$ et $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$. Soit $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.

      • On en déduit que la dérivée de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}x-\ln \left(x^2+1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\left(x^2+1\right)-5\times 2x}{5\left(x^2+1\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3x^2-10x+3}{5x^2+5}}\end{array}$$

      La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2-10x+3}{5x^2+5}}$.

      ---

   3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x. En déduire le tableau des variations de la fonction f. On calculera les valeurs exactes du minimum et du maximum relatifs de f, puis on indiquera dans le tableau leurs valeurs arrondies à 10⁻³ près.

      Pour tout réel x, $5x^2+5⩾5$. Par conséquent, la dérivée est du même signe que le polynôme du second degré $P\left(x\right)=3x^2-10x+3$ avec $a=3\text{, }b=-10\text{ et }c=3$
      $\text{Δ}={\left(-10\right)}^2-4\times 3\times 3=64$, le polynôme admet deux racines $$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{10-8}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{10+8}{6}}=3\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
      Nous pouvons donc déduire le signe de $f\prime$ sur $ℝ$ et dresser le tableau des variations de f.

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	$-\infty$		0,595		− 0,003		$+\infty$

      ---

      Calcul du maximum relatif $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ :$$\begin{array}{lll}f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}-\ln \left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{5}}-\ln \left({\displaystyle \frac{10}{9}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{7}{10}}+\ln \left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)\\ & \approx & \mathrm{0,5946}\end{array}$$

      Calcul du minimum relatif $f\left(3\right)$ :$$\begin{array}{lll}f\left(3\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{5}}\times 3-\ln \left(3^2+1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{9}{5}}-\ln \left(10\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{23}{10}}-\ln 10\\ & \approx & -\mathrm{0,0026}\end{array}$$

      ---

   4. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$. Donner les valeurs arrondies à 10⁻¹ près de ces  solutions.

      On applique le théorème de la valeur intermédiaire sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone :

      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right[$f est strictement croissante et $0\in \left]-\infty ;{\displaystyle \frac{7}{10}}+\ln \left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)\right[$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $a\in \left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right[$. À l'aide de la calculatrice, on établit des encadrements successifs de a :$$\begin{array}{c}-1<a<0\\ -\mathrm{0,5}<a<-\mathrm{0,4}\\ -\mathrm{0,49}<a<-\mathrm{0,48}\end{array}$$D'où l'arrondi à 10⁻¹ près de a est $-\mathrm{0,5}$.

      • Sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{3}};3\right[$f est strictement décroissante et $0\in \left]{\displaystyle \frac{7}{10}}+\ln \left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right);{\displaystyle \frac{23}{10}}-\ln 10\right[$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $b\in \left]{\displaystyle \frac{1}{3}};3\right[$. À l'aide de la calculatrice, on établit des encadrements successifs de b :$$\begin{array}{c}2<b<3\\ \mathrm{2,8}<b<\mathrm{2,9}\\ \mathrm{2,82}<b<\mathrm{2,83}\end{array}$$D'où l'arrondi à 10⁻¹ près de b est 2,8.

      • Sur l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$f est strictement décroissante et $0\in \left]{\displaystyle \frac{23}{10}}-\ln 10;+\infty \right[$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $c\in \left]3;+\infty \right[$. À l'aide de la calculatrice, on établit des encadrements successifs de c :$$\begin{array}{c}3<c<4\\ \mathrm{3,1}<c<\mathrm{3,2}\\ \mathrm{3,18}<c<\mathrm{3,19}\end{array}$$D'où l'arrondi à 10⁻¹ près de c est 3,2.

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet trois solutions dont les valeurs arrondies à 10⁻¹ près sont $-\mathrm{0,5}\text{; }\mathrm{2,8}\text{ et }\mathrm{3,2}$.

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3. Comparer vos réponses aux questions 1. b) et 2. d). Expliquer.

   Les unités choisies pour représenter la courbe ne permettent pas de visualiser les deux points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses au voisinage de 3. Un agrandissement de la zone proche du point d'abscisse 3 permet de visualiser les deux solutions positives de l'équation $f\left(x\right)=0$.

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet bien trois solutions.

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