contrôle du 23 octobre 2010

Corrigé de l'exercice 2

1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

   1. Déterminer $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      D'après la représentation graphique, $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      La droite D d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$

   2. Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

      Par lecture graphique, le coefficient directeur de la tangente T est : $${\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}-\mathrm{1,5}}{2-0}=-\frac{3}{2}}$$

      Donc $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      ---

   3. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
      Pour tout réel $a⩾1$, $f\prime \left(a\right)\times f\left(a\right)⩾0$

      Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, la courbe $C_f$ est au dessous de l'axe des abscisses donc si $a⩾1$ alors, $f\left(a\right)⩽0$.
      D'autre part, la fonction f est strictement décroissante donc $f\prime \left(x\right)⩽0$ pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$.

      Par conséquent, la proposition : « pour tout réel a de l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, $f\prime \left(a\right)\times f\left(a\right)⩾0$ » est vraie.

      ---

2. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2+1$

   1. Déterminer $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$. Interpréter graphiquement les résultats.

      • $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{X}^2=+\infty$ alors par composition des limites, $\underset{x\to -1}{\lim }{\left[f\left(x\right)\right]}^2=+\infty$

        Par conséquent, $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote la droite d'équation $x=-1$.

        ---

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$ et $\underset{X\to 2}{\lim }{X}^2=4$ alors par composition des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left[f\left(x\right)\right]}^2=4$.

        Par conséquent, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=5$ donc la droite d'équation $y=5$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction g en $+\infty$.

        ---

   2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 1.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 1 est :$$y=g\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+g\left(1\right)$$

      Or $g\left(1\right)={\left[f\left(1\right)\right]}^2+1$. Soit $g\left(1\right)=1$

      D'autre part, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=2\times f\prime \left(x\right)\times f\left(x\right)$. D'où $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(1\right)=2\times f\prime \left(1\right)\times f\left(1\right)& \text{Soit}& g\prime \left(1\right)=2\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\times 0=0\end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 1 a pour équation $y=1$.

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   3. Étudier les variations de la fonction g.

      La dérivée de la fonction g est la fonction $g\prime$ définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)=2\times f\prime \left(x\right)\times f\left(x\right)$.

      • D'après la question 1c, si $x⩾1$ alors, $f\prime \left(x\right)\times f\left(x\right)⩾0$ donc $g\prime \left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$

      • Sur l'intervalle $\left]-1;1\right[$, la courbe $C_f$ est au dessus de l'axe des abscisses et strictement décroissante donc sur cet intervalle, $f\left(x\right)⩾0$ et $f\prime \left(x\right)⩽0$. Par conséquent, $g\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left]-1;1\right[$.

      Les variations de la fonction g se déduisent du signe de la dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction g :

      x	−1				1		$+\infty$
      $g\prime \left(x\right)$			−		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $g\left(x\right)$			$+\infty$		1		5

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