contrôles en terminale ES

Contrôle du 26 avril 2013

thèmes abordés

  • Lois de probabilité à densité.
  • Fonction logarithme, dérivée, intégrale.

exercice 1

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I=02e0,5x2dx.

  2. En déduire que la fonction f définie sur l'intervalle 02 par fx=e0,5x2e-2 est une fonction de densité sur 02.

  3. Soit X la variable aléatoire de densité de probabilité f. La probabilité PX1,2 est-elle supérieure à 0,5 ?


exercice 2

Dans un supermarché, le temps d'attente X à la caisse, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle 111.

  1. Déterminer la fonction de densité de probabilité f de la la loi de X.

  2. Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre trois et cinq minutes ?

  3. Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de huit minutes à la caisse ?

  4. Préciser le temps d'attente moyen à la caisse.


exercice 3

La variable X suit la loi normale 𝒩18010,52. Les résultats seront arrondis à 10− 3 près.

  1. Déterminer les probabilités suivantes :

    1. P170X200

    2. PX150

    3. PX160

    4. PX190

  2. Déterminer le réel a tel que PX<a=0,875.

  3. Déterminer le réel b tel que PXb=34.


exercice 4

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients ont choisi l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».

  1. Déterminer la loi probabilité de X. Quelle est son espérance mathématique ?

  2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire X-24012 par la loi normale centrée réduite. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

    1. Montrer que P225X270=P-1,25Z2,5.
      Quelle est la probabilité, arrondie à 10− 3 près, que le nombre de bons portant la mention « Livraison Express » soit compris entre 225 et 270 ?

    2. Déterminer la probabilité, arrondie à 10− 3 près, qu'au moins 276 bons portent la mention « Livraison Express ».


exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par fx=2lnx+4x.

  1. Résoudre l'inéquation fx0.

  2. On note f la dérivée de la fonction f. calculer fx.

  3. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

    1. Montrer que la fonction G définie sur 0+ par Gx=lnx2 est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par gx=2lnxx.
      En déduire une primitive F de la fonction f sur 0+.

    2. Étudier la convexité de la fonction F.

  4. On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
    Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e2.



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✉ A.Yallouz

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