Contrôle du 26 avril 2013

Corrigé de l'exercice 4

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients ont choisi l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».

1. Déterminer la loi probabilité de X. Quelle est son espérance mathématique ?

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=600$ et $p=\mathrm{0,4}$. Son espérance mathématique est $$E\left(X\right)=600\times \mathrm{0,4}=240$$

   X suit la loi binomiale $ℬ\left(600;\mathrm{0,4}\right)$. Son espérance mathématique est égale à 240.

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   remarque :

   L'écart-type est $\sigma =\sqrt{600\times \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}}=\sqrt{144}=12$

2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire ${\displaystyle \frac{X-240}{12}}$ par la loi normale centrée réduite. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

   1. Montrer que $P\left(225⩽X⩽270\right)=P\left(-\mathrm{1,25}⩽Z⩽\mathrm{2,5}\right)$.
      Quelle est la probabilité, arrondie à 10^− 3 près, que le nombre de bons portant la mention « Livraison Express » soit compris entre 225 et 270 ?

      $$\begin{array}{ccc}P\left(225⩽X⩽270\right)& =& P\left(225-240⩽X-240⩽270-240\right)\hfill \\ & =& P\left(-{\displaystyle \frac{15}{12}}⩽{\displaystyle \frac{X-240}{12}}⩽{\displaystyle \frac{30}{12}}\right)\hfill \\ & =& P\left(-\mathrm{1,25}⩽Z⩽\mathrm{2,5}\right)\hfill \end{array}$$

      Comme Z suit la loi normale centrée réduite on trouve $P\left(-\mathrm{1,25}⩽Z⩽\mathrm{2,5}\right)\approx \mathrm{0,888}$

      La probabilité que le nombre de bons portant la mention « Livraison Express » soit compris entre 225 et 270 est égale à 0,888.

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   2. Déterminer la probabilité, arrondie à 10^− 3 près, qu'au moins 276 bons portent la mention « Livraison Express ».

      $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾276\right)& =& P\left(X-240⩾276-240\right)\hfill \\ & =& P\left({\displaystyle \frac{X-240}{12}}⩾{\displaystyle \frac{36}{12}}\right)\hfill \\ & =& P\left(Z⩾3\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(0<Z<3\right)\hfill \end{array}$$

      Comme Z suit la loi normale centrée réduite on trouve $P\left(Z⩾3\right)\approx \mathrm{0,001}$

      La probabilité qu'au moins 276 bons portent la mention « Livraison Express » est égale à 0,001.

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