contrôles en terminale ES

Contrôle du 26 avril 2013

Corrigé de l'exercice 1

Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \int_{0}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2} d x$ .
La fonction g définie pour tout réel x par $g (x) = \frac{e^{0,5 x}}{2}$ est de la forme $u' \times e^{u}$ avec $u (x) = 0,5 x$ et $u' (x) = \frac{1}{2}$ .
Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur $ℝ$ par $G (x) = e^{0,5 x}$ . D'où $\begin{matrix} \int_{0}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2} d x & = & G (2) - G (0) \\ = & e - 1 \end{matrix}$
$I = \int_{0}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2} d x = e - 1$
En déduire que la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 2]$ par $f (x) = \frac{e^{0,5 x}}{2 e - 2}$ est une fonction de densité sur $[0; 2]$ .
La fonction f est dérivable donc continue. D'autre part, pour tout réel x, $e^{0,5 x} > 0$ donc pour tout réel x, $\frac{e^{0,5 x}}{2 e - 2} > 0$ . De plus $\int_{0}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2 e - 2} d x = \int_{0}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2 \times (e - 1)} d x = \frac{1}{e - 1} \times \int_{0}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2} d x = \frac{e - 1}{e - 1} = 1$
La fonction f est continue, positive et $\int_{0}^{2} f (x) d x = 1$ donc f est une fonction de densité sur $[0; 2]$ .
Soit X la variable aléatoire de densité de probabilité f. La probabilité $P (X ⩾ 1,2)$ est-elle supérieure à 0,5 ?
$P (X ⩾ 1,2) = \int_{1,2}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2 e - 2} d x = \frac{1}{e - 1} \times \int_{1,2}^{2} \frac{e^{0,5 x}}{2} d x = \frac{1}{e - 1} \times (e - e^{0,6}) \approx 0,522$
La probabilité $P (X ⩾ 1,2)$ est supérieure à 0,5.

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