contrôles en terminale ES

Contrôle du 26 avril 2013

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=2lnx+4x.

  1. Résoudre l'inéquation f(x)0.

    Sur l'intervalle ]0;+[ le quotient 2lnx+4x est du même signe que 2lnx+4. Or pour tout réel x strictement positif,2lnx+40lnx-2xe-2

    L'ensemble solution de l'inéquation f(x)0 est S=[e-2;+[.


  2. On note f la dérivée de la fonction f. calculer f(x).

    La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x strictement positif, u(x)=2lnx+4d'oùu(x)=2xetv(x)=xd'oùv(x)=1

    Soit pour tout réel x strictement positif, f(x)=2x×x-(2lnx+4)x2=-2-2lnxx2

    Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=-2(lnx+1)x2


  3. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Sur l'intervalle ]0;+[ le quotient -2(lnx+1)x2 est du même signe que -2(lnx+1). Or pour tout réel x strictement positif, -2(lnx+1)0lnx+10lnx-1xe-1

    D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

    x0e-1+
    f(x)+0||
    f(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2e

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    calcul du maximum

    f(e-1)=2ln(e-1)+4e-1=-2+4e-1=2e-1=2e

    1. Montrer que la fonction G définie sur ]0;+[ par G(x)=(lnx)2 est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par g(x)=2lnxx.
      En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0;+[.

      La fonction g définie pour tout réel x strictement positif par g(x)=2lnxx=2lnx×1x est de la forme g=2uu avec pour tout réel x strictement positif, u(x)=lnxetu(x)=1x Une primitive G de la fonction g est G=u2 définie pour tout réel x strictement positif par : G(x)=(lnx)2

      Par conséquent, une primitive de la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=2lnx+4x=2lnxx+4x est la fonction F définie par : F(x)=(lnx)2+4lnx

      Ainsi, F est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par F(x)=(lnx)2+4lnx


    2. Étudier la convexité de la fonction F.

      La convexité de la fonction F se déduit du signe de sa dérivée seconde.
      Comme F est une primitive de la fonction f, la dérivée seconde de la fonction F est la fonction f dérivée de la fonction f.

      • Sur l'intervalle ]0;e-1], f(x)0 donc la fonction F est convexe.
      • Sur l'intervalle [e-1;+[, f(x)0 donc la fonction F est concave.

  4. On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
    Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e2.

    Sur l'intervalle [1;e2] la fonction f est continue et positive. Par conséquent, l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e2 est égale à l'intégrale 1e2f(x)dx

    1e2f(x)dx=F(e2)-F(1)=((lne2)2+4lne2)-(0)=22+4×2=12

    L'aire de la surface comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e2 est égale à 12 unités d'aire.



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