Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par .
Résoudre l'inéquation .
Sur l'intervalle le quotient est du même signe que . Or pour tout réel x strictement positif,
L'ensemble solution de l'inéquation est .
On note la dérivée de la fonction f. calculer .
La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x strictement positif,
Soit pour tout réel x strictement positif,
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Sur l'intervalle le quotient est du même signe que . Or pour tout réel x strictement positif,
D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f
x | 0 | |||||
+ | − | |||||
calcul du maximum
Montrer que la fonction G définie sur par est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par .
En déduire une primitive F de la fonction f sur .
La fonction g définie pour tout réel x strictement positif par est de la forme avec pour tout réel x strictement positif, Une primitive G de la fonction g est définie pour tout réel x strictement positif par :
Par conséquent, une primitive de la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par est la fonction F définie par :
Ainsi, F est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier la convexité de la fonction F.
La convexité de la fonction F se déduit du signe de sa dérivée seconde.
Comme F est une primitive de la fonction f, la dérivée seconde de la fonction F est la fonction dérivée de la fonction f.
On note la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Sur l'intervalle la fonction f est continue et positive. Par conséquent, l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à l'intégrale
L'aire de la surface comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à 12 unités d'aire.
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