contrôles en terminale ES

contrôle spécialité du 30 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ où a, b et c sont trois nombres réels.
La courbe $C_{f}$ , représentative de la fonction f passe par les points $M (0; 2)$ , $N (- 2; - 1)$ et $P (4; 5)$ .

On cherche à déterminer la valeur des cœfficients a, b et c.
1. À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.
  L'appartenance des trois points à la parabole $C_{f}$ se traduit par :
  - $M (0; 2) \in C_{f} \Leftrightarrow f (0) = 2$ . Soit $c = 2$
  - $N (- 2; - 1) \in C_{f} \Leftrightarrow f (- 2) = - 1$ . Soit $4 a - 2 b + c = - 1$
  - $P (4; 5) \in C_{f} \Leftrightarrow f (4) = 5$ . Soit $16 a + 4 b + c = 5$
  Ainsi, a, b et c sont solutions du système S : ${\begin{array}{r} c & = & 2 \\ 4 a - 2 b + c & = & - 1 \\ 16 a + 4 b + c & = & 5 \end{array}$ .
2. En déduire que le système précédent est équivalent à : $A \times X = B$ avec $A = (\begin{array}{r} 0 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{array})$ , $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ et B une matrice colonne que l'on précisera.
  Posons $A = (\begin{array}{r} 0 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{array})$ , $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ et $B = (\begin{array}{r} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$ alors, le système S s'écrit sous la forme matricielle $A \times X = B$ .
3. Déterminer les valeurs des cœfficients a, b et c.
  À l'aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice A est inversible donc : $\begin{array}{l} A \times X = B & \Leftrightarrow & A^{- 1} \times A \times X = A^{- 1} \times B \\ \Leftrightarrow & X = A^{- 1} \times B \end{array}$
  Soit $X = (\begin{array}{r} - \frac{1}{8} \\ \frac{5}{4} \\ 2 \end{array})$
  Ainsi, $a = - \frac{1}{8}$ , $b = \frac{5}{4}$ et $c = 2$ .
En déduire l'expression de $f (x)$ en fonction de x.
f est la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $f (x) = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{5 x}{4} + 2$

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