contrôles en terminale ES

contrôle spécialité du 30 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 2

On considère le graphe 𝒢 ci-dessous :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets.

    Il y a 8 sommets donc le graphe 𝒢 est d'ordre 8.


    Les degrés des sommets sont :

    Sommets ABCDEFGH
    Degré23434244
  2. Déterminer en justifiant si ce graphe est :

    1. complet ;

      Les sommets A et E ne sont pas adjacents donc le graphe n'est pas complet.


    2. connexe.

      La chaîne A-B-C-E-G-F-H-D contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe au moins une chaîne de longueur inférieure ou égale à 7 ayant pour extrémités ces deux sommets.

      Pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe 𝒢 est connexe.


  3. Déterminer en justifiant si le graphe 𝒢 admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.

    Chaîne eulérienne : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets B et D de degré impair, il existe donc une chaîne eulérienne d'extrémités B et D.


  4. On range les sommets par ordre alphabétique. Donner la matrice d'adjacence M associée au graphe.

    La matrice d'adjacence du graphe 𝒢 est : M=(0101000010101000010010111000100101100010000000110010110100110110)


  5. On donne M3=(05351141527283353764939105240923818994410413324266439310669151084694). Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H.

    Les termes de la matrice M3 donnent le nombre de chaînes de longueur 3 entre deux sommets.

    Le terme situé à l'intersection de cinquième ligne et de la dernière colonne de la matrice M3 est égal à 4.

    Il y a 4 chaînes de longueur 3 d'origine E et d'extrémité H.



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