contrôles en terminale ES

contrôle du 3 décembre 2015

Sujet B : Corrigé de l'exercice 1

Au 31 décembre 2014, Pierre n'a réussi à économiser que 50 euros. Ses parents lui versent 40 euros tous les premiers du mois.
Pierre décide que pour s'offrir un smartphone qui coûte 150 euros, il ne dépensera chaque mois que 20 % de son capital accumulé.
Le premier versement lui a été fait au 1^er janvier 2015.

Soit $u_{n}$ le montant des économies de Pierre à la fin du mois après le n-ième versement. Ainsi $u_{0} = 50$ et $u_{1}$ correspond au montant des économies de Pierre au soir du 31 janvier 2015.
1. Montrer que $u_{2} = 89,60$ .
  Un premier versement de 40 euros a été fait au 1^er janvier 2015. À cette date, le montant des économies de Pierre est de 90 euros. Au cours du mois, Pierre dépense 20 % de son capital d'où $u_{1} = 90 \times 0,8 = 72$
  Un deuxième versement de 40 euros a été fait au 1^er février 2015. À cette date, le montant des économies de Pierre est de $u_{1} + 40 = 72 + 40 = 112$ Au cours du mois de février, Pierre dépense 20 % de son capital d'où $u_{2} = 112 \times 0,8 = 89,60$
  Ainsi, $u_{2} = 89,60$ .
2. Justifier que $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 32$ .
  Soit $u_{n}$ le montant des économies de Pierre à la fin du mois après le n-ième versement. Le 1^er du mois suivant, ses parents lui versent 40 euros et, au cours du mois, Pierre dépense 20 % de son capital d'où $u_{n + 1} = (u_{n} + 40) \times 0,8 = = u_{n} + 32$
  Ainsi, pour tout entier n, $u_{n + 1} = u_{n} + 32$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 160$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 160 \\ = & 0,8 u_{n} + 32 - 160 \\ = & 0,8 u_{n} - 128 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 160) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8. D'autre part, $\begin{matrix} v_{0} = u_{0} - 160 & soit & v_{0} = 50 - 160 = - 110 \end{matrix}$
  Ainsi, $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = - 110$ .
2. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 160 - 110 \times {0,8}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = - 110$ alors pour tout entier n, $v_{n} = - 110 \times {0,8}^{n}$ .
  D'autre part, pour tout entier n, $v_{n} = u_{n} - 160$ d'où $u_{n} = v_{n} + 160$ .
  Donc la suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier n par $u_{n} = 160 - 110 \times {0,8}^{n}$ .
1. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation $160 - 110 \times {0,8}^{n} ⩾ 150$ .
  On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} 160 - 110 \times {0,8}^{n} ⩾ 150 & \Leftrightarrow & - 110 \times {0,8}^{n} ⩾ - 10 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} ⩽ \frac{10}{110} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) ⩽ \ln (\frac{1}{11}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,8 ⩽ - \ln 11 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{- \ln 11}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{- \ln 11}{\ln 0,8} \approx 10,7$ alors :
  Le plus petit entier n tel que $160 - 110 \times {0,8}^{n} ⩾ 150$ est $n = 11$ .
2. Au terme de quel mois, Pierre aura-t-il économisé la somme nécessaire à l'achat du smartphone ?
  D'après la question précédente :
  Pierre aura économisé la somme nécessaire à l'achat du smartphone à la fin du mois de novembre.

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