contrôle du 3 décembre 2015

Sujet A : Corrigé de l'exercice 2

La courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ est tracée ci-dessous.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f\left(1\right)$ et de $f\prime \left(1\right)$.

   $f\left(1\right)=4$. La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(1\right)=0$.

   Ainsi, $f\left(1\right)=4$ et $f\prime \left(1\right)=0$.

   ---

2. La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=8-4\ln \left(x\right)-{\displaystyle \frac{4}{x}}$.

   1. Montrer que pour tout nombre réel x strictement positif, on a : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4-4x}{x^2}}$.

      Pour tout réel x strictement positif, on a : $$f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}={\displaystyle \frac{4-4x}{x^2}}$$

      La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4-4x}{x^2}}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Comme pour tout réel x strictement positif, on a $x^2>0$ on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $4-4x$. Or $$\begin{array}{ccc}4-4x⩽0& \iff & x⩾1\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

      x		0			1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$					4

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[6;7\right]$. Donner la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

   Nous avons $f\left(6\right)={\displaystyle \frac{22}{3}}-4\ln \left(6\right)\approx \mathrm{0,166}$ et $f\left(7\right)={\displaystyle \frac{52}{7}}-4\ln \left(7\right)\approx -\mathrm{0,355}$.
   Sur l'intervalle $\left[6;7\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(7\right)<0<f\left(6\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

   l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[6;7\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx -\mathrm{6,31}$.

   ---

4. 1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

      La fonction $f\prime$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$.
      $f\prime ={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f″={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=4-4x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-4\hfill \\ v\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=2x\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}f″\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-4x^2-\left(4-4x\right)\times 2x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2-8x+8x^2}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2-8x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x-8}{x^3}}\end{array}$$

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x-8}{x^3}}$.

      Comme pour tout réel x strictement positif, $x^2>0$ on en déduit que $f″\left(x\right)$ est du même signe que $4x-8$

      x		0			2		$+\infty$
      Signe de $f″\left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Convexité de f				f est concave		f est convexe

      ---

      La fonction f est concave sur l'intervalle $\left]0;2\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$.

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   2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

      La fonction f change de convexité pour $x=2$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 2. D'autre part, $f\left(2\right)=6-4\ln 2$.

      La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées $\left(2;6-4\ln 2\right)$.

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