contrôle du 9 janvier 2015

Sujet A : Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(0\right)$

   • La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-1\right)=0$

     ---

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 0 d'où $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{1-2}}=-1$$

     $f\prime \left(0\right)=-1$

     ---

2. Donner le tableau de variation de la fonction dérivée $f\prime$.

   Le point $B\left(0;2\right)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $C_f$ donc la fonction f change de convexité pour $x=0$. D'autre part, la courbe $C_f$ est située en dessous de sa tangente en A d'abscisse $-1$.
   Nous pouvons en déduire alors, que la fonction f est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   La convexité de la fonction f se déduisant des variations de sa dérivée $f\prime$ on a :

   x	− ∞		0		$+\infty$
   variations de $f\prime$			$-1$

3. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et l'autre celle de $f″$.
   Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f\prime$ et celle qui représente la dérivée seconde $f″$.

   • $f\prime \left(-1\right)=0$ et $f\prime \left(0\right)=-1$ donc :

     $C_4$ est la seule des quatre courbe susceptible de représenter la fonction dérivée $f\prime$.

     ---

   • Le point $B\left(0;2\right)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $C_f$ donc la dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=0$ et comme la fonction f est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ alors, $f″\left(x\right)⩽0$ sur cet intervalle d'où :

     $C_2$ est la seule des quatre courbe susceptible de représenter la dérivée seconde $f″$.

     ---

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$ représentative de la dérivée seconde $f″$	Courbe $C_3$	Courbe $C_4$ représentative de la dérivée $f\prime$

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. Déterminer, $f\prime \left(x\right)$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-x}-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(1-x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(-x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(-x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$

   ---

2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-x-1\right)$

   Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			e

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.