contrôle du 9 janvier 2015

Sujet A : Corrigé de l'exercice 3

partie a : étude d'une fonction

On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$ par $f\left(x\right)=-x^2+11x-9\ln \left(x\right)-10$.
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

1. 1. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+11x-9}{x}}$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$, on a :$$f\prime \left(x\right)=-2x+11-{\displaystyle \frac{9}{x}}={\displaystyle \frac{-2x^2+11x-9}{x}}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+11x-9}{x}}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$.

      Sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-2x^2+11x-9$. Cherchons les racines du trinôme.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=121-72=49$ donc le trinôme admet deux racines :$$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{-11-7}{-4}}={\displaystyle \frac{9}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-11+7}{-4}}=1\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x		1		${\displaystyle \frac{9}{2}}$		7,5
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x		1		${\displaystyle \frac{9}{2}}$		7,5
      $f\prime \left(x\right)$		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		0		$\mathrm{19,25}-9\ln \left(\mathrm{4,5}\right)$		$\mathrm{16,25}-9\ln \left(\mathrm{7,5}\right)$

2. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{x^2}}-2$.
   Montrer que la courbe $C_f$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

   Pour tout réel x non nul :$${\displaystyle \frac{9}{x^2}}-2={\displaystyle \frac{9-2x^2}{x^2}}={\displaystyle \frac{2\left(\sqrt{\mathrm{4,5}}-x\right)\left(\sqrt{\mathrm{4,5}}+x\right)}{x^2}}$$

   Nous pouvons en déduire le signe de la dérivée seconde sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{7,5}\right]$

   x	1		$\sqrt{\mathrm{4,5}}$		7,5
   Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   La courbe $C_f$ admet un unique point d'inflexion d'abscisse $x=\sqrt{\mathrm{4,5}}$.

   ---

partie b : application à l'économie

Une entreprise fabrique des pièces. Sa production quotidienne varie entre 100 pièces et 750 pièces.
Le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euro, pour x centaines de pièces fabriquées et vendues $\left(1⩽x⩽\mathrm{7,5}\right)$, est modélisé par $f\left(x\right)$, où f est la fonction définie dans la partie A.

1. 1. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution dans l'intervalle $\left[7;\mathrm{7,5}\right]$, et donner une valeur approchée au centième de cette solution.

      $f\left(7\right)=18-9\ln \left(7\right)\approx \mathrm{0,49}$ et $f\left(\mathrm{7,5}\right)=\mathrm{16,25}-9\ln \left(\mathrm{7,5}\right)\approx -\mathrm{1,88}$. Sur l'intervalle $\left[7;\mathrm{7,5}\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(\mathrm{7,5}\right)<0<f\left(7\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

      l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[7;\mathrm{7,5}\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{7,11}$.

      ---

   2. En déduire jusqu'à quel nombre de pièces fabriquées l'entreprise réalise un bénéfice.

      x		1		${\displaystyle \frac{9}{2}}$	α	7,5
      $f\left(x\right)$		0

      D'après l'étude des varations de la fonction f : $f\left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[1;\alpha \right]$

      L'entreprise réalise un bénéfice jusqu'à 711 pièces fabriquées et vendues.

      ---

2. Déterminer le nombre de pièces que doit fabriquer l'entreprise afin d'obtenir le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal, arrondi à la centaine d'euro.

   Le maximum de la fonction f est attent pour $x={\displaystyle \frac{9}{2}}$ et $f\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)=\mathrm{19,25}-9\ln \left(\mathrm{4,5}\right)\approx \mathrm{5,713}$

   Le bénéfice maximal est d'environ 5700 euros obtenu pour une production de 450 pièces.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.