contrôles en terminale ES

contrôle du 24 septembre 2016

thèmes abordés

  • Suite arithmético-géométrique.
  • Dérivée d'une fonction, lecture graphique, variation, théorème de la valeur intermédiaire.

exercice 1

Une commune met en place un nouveau service internet par abonnement. L'abonnement d'une durée de un an est renouvelable à la fin de chaque année.
On suppose que l'effectif de la population concernée par ce service n'évolue pas et est égal à 50 000.
On estime que chaque année, 79 % des abonnés renouvelleront leur abonnement en fin d'année et que 4 % des non abonnés d'une année s'abonneront l'année suivante.
La première année 400 personnes se sont abonnées à ce service.

  1. On note a0 le nombre d'abonnés à ce service la première année, a1 le nombre d'abonnés un an plus tard etc.
    Calculer a1 et a2.

  2. L'évolution du nombre d'abonnés à ce service est modélisée pour tout entier n par la suite an où le terme an est le nombre d'abonnés n années après la première année de la mise en place de ce service. On a donc a0=400.
    Montrer que pour tout entier n, an+1=0,75×an+2000.

  3. On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    N est un entier naturel
    A est un réel

    traitement :

    Affecter à N la valeur 0
    Affecter à A la valeur 400

    Tant que A<5000
    Affecter à N la valeur N+1
    Affecter à A la valeur A×0,75+2000
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    1. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.

      Valeur de N

      01

      Valeur de A

      400

      Condition A>5000

      Vraie
    2. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  4. On considère la suite un définie pour tout entier naturel n par un=an-8000.

    1. Démontrer que la suite un est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer un, en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, an=8000-7600×0,75n.

    1. Montrer que la suite an est croissante.

    2. Calculer la limite de la suite an et interpréter ce résultat.

  5. Le montant annuel d'un abonnement est de 30 €. On note Sn la somme totale perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des n premières années après la mise en place de ce nouveau service.
    Calculer le montant arrondi à la dizaine d'euros près de la somme perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des cinq premières années.


exercice 2

partie a

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative Cf d'une fonction f définie et dérivable sur . On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note f la dérivée de la fonction f. À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer f-1 et f2.

  2. La tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1 a pour équation y=-2x+72.
    Déterminer f1 et f1.

  3. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse.

    1. f0×f30.

    2. f-3×f10.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par fx=18-9xx2+5.

  1. Montrer que pour tout réel x, fx=9x2-4x-5x2+52.

    1. Étudier le signe de fx.

    2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

  2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse -2.



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