Une commune met en place un nouveau service internet par abonnement. L'abonnement d'une durée de un an est renouvelable à la fin de chaque année.
On suppose que l'effectif de la population concernée par ce service n'évolue pas et est égal à 50 000.
On estime que chaque année, 79 % des abonnés renouvelleront leur abonnement en fin d'année et que 4 % des non abonnés d'une année s'abonneront l'année suivante.
La première année 400 personnes se sont abonnées à ce service.
On note le nombre d'abonnés à ce service la première année, le nombre d'abonnés un an plus tard etc.
Calculer et .
L'évolution du nombre d'abonnés à ce service est modélisée pour tout entier n par la suite où le terme est le nombre d'abonnés n années après la première année de la mise en place de ce service. On a donc .
Montrer que pour tout entier n, .
On considère l'algorithme suivant :
variables : | N est un entier naturel |
traitement : | Affecter à N la valeur 0 Tant que |
Sortie : | Afficher N |
Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.
Valeur de N | 0 | 1 | … | |
Valeur de A | 400 | … | ||
Condition | Vraie | … |
Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer , en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, .
Montrer que la suite est croissante.
Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat.
Le montant annuel d'un abonnement est de 30 €. On note la somme totale perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des n premières années après la mise en place de ce nouveau service.
Calculer le montant arrondi à la dizaine d'euros près de la somme perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des cinq premières années.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur . On sait que :
On note la dérivée de la fonction f. À partir du graphique et des renseignements fournis :
Déterminer et .
La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation .
Déterminer et .
Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse.
.
.
La fonction f est définie pour tout réel x par .
Montrer que pour tout réel x, .
Étudier le signe de .
Donner le tableau de variations de la fonction f.
Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe au point d'abscisse .
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