contrôles en terminale ES

contrôle du 24 septembre 2016

Corrigé de l'exercice 1

Une commune met en place un nouveau service internet par abonnement. L'abonnement d'une durée de un an est renouvelable à la fin de chaque année.
On suppose que l'effectif de la population concernée par ce service n'évolue pas et est égal à 50 000.
On estime que chaque année, 79 % des abonnés renouvelleront leur abonnement en fin d'année et que 4 % des non abonnés d'une année s'abonneront l'année suivante.
La première année 400 personnes se sont abonnées à ce service.

On note $a_{0}$ le nombre d'abonnés à ce service la première année, $a_{1}$ le nombre d'abonnés un an plus tard etc.
Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .
- La deuxième année, le nombre d'abonnés est : $a_{1} = 400 \times 0,79 + (50000 - 400) \times 0,04 = 2300$
- La troisième année, le nombre d'abonnés est : $a_{2} = 2300 \times 0,79 + (50000 - 2300) \times 0,04 = 3725$
Ainsi, $a_{1} = 2300$ et $a_{2} = 3725$ .
L'évolution du nombre d'abonnés à ce service est modélisée pour tout entier n par la suite $(a_{n})$ où le terme $a_{n}$ est le nombre d'abonnés n années après la première année de la mise en place de ce service. On a donc $a_{0} = 400$ .
Montrer que pour tout entier n, $a_{n + 1} = 0,75 \times a_{n} + 2 000$ .
Chaque année, 79 % des abonnés renouvelleront leur abonnement en fin d'année et que 4 % des non abonnés d'une année s'abonneront l'année suivante donc pour tout entier n on a : $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,79 \times a_{n} + 0,04 \times (50000 - a_{n}) \\ = & 0,79 a_{n} + 2 000 - 0,04 a_{n} \\ = & 0,75 a_{n} + 2 000 \end{array}$
La suite $(a_{n})$ est définie par $a_{0} = 400$ et, pour tout entier n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 2 000$ .

On considère l'algorithme suivant :

variables :

N est un entier naturel
A est un réel

traitement :

Affecter à N la valeur 0
Affecter à A la valeur 400

Tant que $A < 5000$
Affecter à N la valeur $N + 1$
Affecter à A la valeur $A \times 0,75 + 2 000$
Fin Tant que

Sortie :

Afficher N

Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.
Valeur de N
0 1 2 3 4
Valeur de A
400 2300 3725 4794 5595
Condition $A > 5000$
Vraie Vraie Vraie Vraie FAUSSE
Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La valeur affichée en sortie par cet algorithme est 4. La cinquième année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 5000.

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = a_{n} - 8000$ .
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 8000 \\ = & 0,75 a_{n} + 2 000 - 8000 \\ = & 0,75 a_{n} - 6000 \\ = & 0,75 \times (a_{n} - 8000) \\ = & 0,75 u_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75. D'autre part, $\begin{matrix} u_{0} = a_{0} - 8000 & soit & u_{0} = 400 - 8000 = - 7600 \end{matrix}$
  Ainsi, $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $u_{0} = - 7600$ .
2. Exprimer $u_{n}$ , en fonction de n.
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $u_{0} = - 7600$ donc pour tout entier n, $u_{n} = - 7600 \times {0,75}^{n}$ .
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 8000 - 7600 \times {0,75}^{n}$ .
  Pour tout entier n, $u_{n} = a_{n} - 8000 \Leftrightarrow a_{n} = v_{n} + 8000$
  Ainsi, $(a_{n})$ est la suite définie pour tout entier n par $a_{n} = 8000 - 7600 \times {0,75}^{n}$ .
1. Montrer que la suite $(a_{n})$ est croissante.
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} a_{n + 1} - a_{n} & = & (8000 - 7600 \times {0,75}^{n + 1}) - (8000 - 7600 \times {0,75}^{n}) \\ = & - 7600 \times {0,75}^{n + 1} + 7600 \times {0,75}^{n} \\ = & 7600 \times {0,75}^{n} \times (- 0,75 + 1) \\ = & 1900 \times {0,75}^{n} \end{matrix}$
  Or pour tout entier n, $1900 \times {0,75}^{n} > 0$ , donc :
  pour tout entier n, $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ . La suite $(a_{n})$ est strictement croissante.
2. Calculer la limite de la suite $(a_{n})$ et interpréter ce résultat.
  $0 < 0,75 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 8000 - 7600 \times {0,75}^{n} = 8000$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 8000$ .
  La suite $(a_{n})$ converge vers 8000 donc à partir d'un certain nombre d'années, tous les ans, le nombre d'abonnés à ce service sera proche de 8000.
Le montant annuel d'un abonnement est de 30 €. On note $S_{n}$ la somme totale perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des n premières années après la mise en place de ce nouveau service.
Calculer le montant arrondi à la dizaine d'euros près de la somme perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des cinq premières années.
La somme perçue par le gestionnaire sur l'ensemble des cinq premières années est : $S_{5} = 30 \times (a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})$
- On peut calculer cette somme en utilisant les valeurs approchées du nombre d'abonnés dans le tableau de la question 3.a. $\begin{aligned} S_{5} \approx 30 \times (400 + 2300 + 3725 + 4794 + 5595) \\ Soit & S_{5} \approx 504420 \end{aligned}$
- On peut également exprimer cette somme en fonction du nombre d'années : $\begin{aligned} S_{5} = 30 \times (a_{0} + \dots + a_{4}) \\ Soit & S_{5} = 30 \times ((8000 - 7600 \times {0,75}^{0}) + \dots + (8000 - 7600 \times {0,75}^{4})) \\ \Leftrightarrow & S_{5} = 30 \times (5 \times 8000 - 7600 \times \frac{1 - {0,75}^{5}}{1 - 0,75}) = 504421,875 \end{aligned}$
Arrondie à la dizaine d'euros près, la somme perçue par le gestionnaire pour les cinq premières années est 504420 €.

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Valeur de N	0	1	2	3	4
Valeur de A	400	2300	3725	4794	5595
Condition $A > 5000$	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	FAUSSE