contrôles en terminale ES

bac blanc du 24 février 2017

thèmes abordés

  • Suites.
  • Probabilités.
  • Fonction exponentielle.
  • Graphes.
  • Fonction logarithme.

exercice 1 : commun à tous les Élèves

Dans une ville en pleine expansion, le responsable d'une salle de sport prévoit que 80 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année 200 nouveaux abonnés.

partie a

  1. Le 1er janvier 2015 il y avait 300 abonnés et, le 1er janvier 2017 il y a 552 abonnés.
    L'évolution du nombre d'abonnés est-elle conforme aux prévisions du responsable de la salle de sport ?

  2. Le responsable de la salle de sport souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés dépassera 900.
    Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année correspondante.

    Algorithme 1Algorithme 2Algorithme 3

    U prend la valeur 300
    N prend la valeur 0

    U prend la valeur 300
    N prend la valeur 2015

    U prend la valeur 300
    N prend la valeur 0

    Tant que U900

    • U prend la valeur 0,8×U+200
    • N prend la valeur N+1

    Fin tant que

    Tant que U>900

    • U prend la valeur 0,8×U+200
    • N prend la valeur N+1

    Fin tant que

    Tant que U<900

    • U prend la valeur 0,8×U+200
    • N prend la valeur 2015+1

    Fin tant que

    Afficher 2015+N

    Afficher N

    Afficher N

partie b

On modélise l'évolution du nombre d'abonnés à cette salle de sport par une suite numérique unun représente le nombre d'abonnés le 1er janvier de l'année 2015+n, avec n un nombre entier naturel.
On a ainsi u0=300 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,8un+200.

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=1000-un.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=1000-700×0,8n.

  2. Déterminer par le calcul l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés aura dépassé 900.


exercice 2 : commun à tous les Élèves

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire à 10-4 près.

D'après un document de l'Assurance Maladie concernant les accidents du travail de l'année 2015 on constate que :

On consulte au hasard le dossier d'assurance maladie d'un salarié et on note :

partie a

  1. Donner les probabilités suivantes PA, PB et PBA.

  2. Calculer la probabilité que le dossier soit celui d'un salarié du Bâtiment victime d'un accident du travail.

  3. Le dossier est celui d'un salarié victime d'un accident du travail. Quelle est la probabilité que ce soit celui d'un salarié du Bâtiment ?

partie b

Lors d'un accident du travail, un taux d'incapacité permanente supérieur à 10 % (IP ⩾ 10 %) a pour conséquence l'attribution d'une rente.
En 2015, 2,7% des accidents du travail ont donné droit à l'attribution d'une rente.

On consulte au hasard cent dossiers de salariés ayant eu un accident du travail en 2015.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de dossiers donnant droit à l'attribution d'une rente.

  1. On considère que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

  2. Donner la probabilité qu'au plus trois dossiers donnent droit à l'attribution d'une rente.

  3. Quelle est la probabilité qu'au moins six dossiers donnent droit à l'attribution d'une rente.


exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des cinq réponses proposées est exacte.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

On s'intéresse à la fonction f:xx2-3x+2e2x.

  1. La dérivée f a pour expression :

    a. fx=2x2-4x+1e2x

    b. fx=22x-3e2x

    c. fx=4x-6e2x

    d. fx=2x-3e2x

    e. fx=x2-x-1e2x

  2. L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :

    a. y=-3x+2

    b. y=-6x+1

    c. y=2x+1

    d. y=x+2

    e. Aucune réponse n'est juste.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous, la courbe 𝒞 représentative de la dérivée de la fonction f ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0.

Courbe représentative de la dérivée f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La fonction f est :

    a. concave sur 01

    b. convexe sur 01

    c. croissante sur 01

    d. décroissante sur 01

    e. Aucune réponse n'est juste

  2. On note f la dérivée seconde de la fonction f :

    a. f0=1

    b. f0=-1

    c. f0=-2

    d. f0=-3

    e. f0=-4

  3. Sur l'intervalle 0+, le nombre de solutions de l'équation fx=0 est :

    a. 0

    b. 1

    c. 2

    d. 3

    e. on ne peut pas savoir


exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère le graphe ci-dessous :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets.

  2. Recopier et compléter la matrice d'adjacence M associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : M=0101000001101001100001010000001010000000110001010000100100000010101000000001011000000010.

  3. On donne les matrices M2=3020121010040321110120201210000304112101121142211021212422001112224110010112130110001010200101000102 et M3=08083233048273610832007073232028372810632036386997122102109694223836996712332374724002021214034020222030

    1. Donner, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant A à E. Les citer toutes.

    2. Effectuer le produit de la troisième ligne de la matrice M2 et de la septième colonne de la matrice M3. Interpréter le résultat.

  4. Déterminer en justifiant si ce graphe est :

    1. complet ;

    2. connexe.

  5. Ce graphe modélise le plan d'un parc public. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe sont les intersections.

    1. En début de journée, le responsable du service d'entretien fait le tour du parc pour inspecter l'état des allées.
      Est-il possible d'optimiser le parcours pour que le responsable passe par toutes les allées sans emprunter plusieurs fois la même allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un parcours.

    2. Pour rationaliser le nettoyage des allées, on souhaite établir un circuit commençant et finissant par l'entrepôt situé en E et qui passe par toutes les allées une et une seule fois.
      Quel est le nombre minimal d'allées qu'il faudrait tracer pour obtenir un tel circuit ?


exercice 4 : commun à tous les Élèves

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous, la courbe Cf représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 05.
La tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse 1 passe par le point B de coordonnées 02.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. On note f la dérivée de la fonction f, déterminer f1.

  2. Que représente le point A pour la courbe Cf ?

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle 05 par fx=x22+x-xlnx+32.

  1. Justifier que fx=x-lnx.

  2. Calculer fx, où f est la dérivée seconde de la fonction f.

    1. Étudier les variations de la fonction dérivée f.

    2. En déduire que la fonction f est strictement croissante.

  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 3.
    Tracer la droite T sur le graphique donné en annexe.

partie c

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production quotidienne est limitée à 5 milliers d'articles.
La fonction f modélise sur l'intervalle 05 le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note CMx le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
CM est la fonction définie sur l'intervalle 05 par CMx=fxx.
On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle 05 et on appelle C sa fonction dérivée.

  1. Calculer Cx, et vérifier que Cx=x2-2x-32x2 pour tout réel x de l'intervalle 05.

  2. Étudier les variations de la fonction CM sur 05.

  3. Quel est le prix de vente d'un article en dessous duquel l'entreprise est certaine de ne pas faire de bénéfice ?



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