contrôles en terminale ES

contrôle du 13 décembre 2016

thèmes abordés

  • Fonction exponentielle, dérivée variation, convexité.
  • Graphes, chaîne eulérienne.

sujet a

exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par g⁡(x)=e-x

    proposition 1 :
    La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 a pour équation y=-x+1.

  2. On donne ci-dessous la courbe (C) représentative de la dérivée f′ d'une fonction f définie sur ℝ.
    On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ℝ et on note f″ sa dérivée seconde.
    Les droites d et d' sont tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A d'abscisse (-1) et B d'abscisse 1.

    Courbe représentative de la fonction dérivée : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    proposition 2 :
    f⁡(-1)⩾f⁡(1).

    proposition 3 :
    La fonction f est concave sur l'intervalle [-3;1].

    proposition 4 :
    f″⁡(1)=-32.

    proposition 5 :
    Au point d'abscisse 3, la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion.

exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f⁡(x)=(2⁢x-8)×e0,5⁢x.
On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et f′′ la dérivée seconde de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : f′⁡(x)=(x-2)×e0,5⁢x.

    2. Étudier les variations de la fonction f.

  2. Montrer que l'équation f⁡(x)=e0,5 admet une unique solution α.
    Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.

  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

    2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

exercice 3

On considère le graphe Γ ci-dessous :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

  1. Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets.

  2. On range les sommets par ordre alphabétique. Donner la matrice d'adjacence M associée au graphe.

  3. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M3.
    R=(2705358474636388061532425352714836374688532161248844826948288496) ; S=(13153584446363810568532421352714836374698532168258844926749288486) ; T=(27153584746363810160532425352714836374610853216024884410269410288496)

    1. Sans calculer la matrice M3, indiquer quelle est la matrice M3 en justifiant votre choix.

    2. Donner, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant C à G. Les citer toutes.

  4. Déterminer en justifiant si ce graphe est :

    1. complet ;

    2. connexe.

  5. Le graphe Γ modélise le plan d'un parc public. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe sont les intersections.

    1. En début de journée, le responsable du service d'entretien fait le tour du parc pour inspecter l'état des allées.
      Est-il possible d'optimiser le parcours pour que le responsable passe par toutes les allées sans emprunter plusieurs fois la même allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un parcours.

    2. Pour rationaliser le nettoyage des allées, on souhaite établir un circuit commençant et finissant par l'entrepôt situé en E et qui passe par toutes les allées une et une seule fois.
      Quel est le nombre minimal d'allées qu'il faudrait tracer pour obtenir un tel circuit ?

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sujet b

exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par g⁡(x)=e-x

    proposition 1 :
    La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 a pour équation y=x-1.

  2. On donne ci-dessous la courbe (C) représentative de la dérivée f′ d'une fonction f définie sur ℝ.
    On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ℝ et on note f″ sa dérivée seconde.
    Les droites d et d' sont tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A d'abscisse (-1) et B d'abscisse 1.

    Courbe représentative de la fonction dérivée : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    proposition 2 :
    f⁡(-1)⩽f⁡(1).

    proposition 3 :
    La fonction f est convexe sur l'intervalle [1;+∞[.

    proposition 4 :
    f″⁡(1)=-32.

    proposition 5 :
    Au point d'abscisse (-1), la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion.

exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f⁡(x)=(2⁢x-16)×e0,25⁢x.
On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et f′′ la dérivée seconde de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : f′⁡(x)=(0,5⁢x-2)×e0,25⁢x.

    2. Étudier les variations de la fonction f.

  2. Montrer que l'équation f⁡(x)=e0,25 admet une unique solution α.
    Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.

  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

    2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

exercice 3

On considère le graphe Γ ci-dessous :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

  1. Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets.

  2. On range les sommets par ordre alphabétique. Donner la matrice d'adjacence M associée au graphe.

  3. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M3.
    R=(13153584446363810568532421352714836374698532168258844926749288486) ; S=(27153584746363810160532425352714836374610853216024884410269410288496) ; T=(2705358474636388061532425352714836374688532161248844826948288496).

    1. Sans calculer la matrice M3, indiquer quelle est la matrice M3 en justifiant votre choix.

    2. Donner, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant G à C. Les citer toutes.

  4. Déterminer en justifiant si ce graphe est :

    1. complet ;

    2. connexe.

  5. Le graphe Γ modélise le plan d'un parc public. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe sont les intersections.

    1. En début de journée, le responsable du service d'entretien fait le tour du parc pour inspecter l'état des allées.
      Est-il possible d'optimiser le parcours pour que le responsable passe par toutes les allées sans emprunter plusieurs fois la même allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un parcours.

    2. Pour rationaliser le nettoyage des allées, on souhaite établir un circuit commençant et finissant par le garage situé en G et qui passe par toutes les allées une et une seule fois.
      Quel est le nombre minimal d'allées qu'il faudrait tracer pour obtenir un tel circuit ?

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