Asymptote oblique

asymptote d'équation $y=ax+b$

définition

${𝒞}_f$ désigne la courbe représentative d'une fonction f dans un repère donné.
Dire que la droite D d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ au voisinage de $+\infty$ (resp. au voisinage de $-\infty$) signifie que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$, (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$).

Interprétation graphique

${𝒞}_f$ est la courbe représentative dans un repère orthonormé d'une fonction f définie sur un intervalle I.
D est la droite d'équation $y=ax+b$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$

Soit x un réel de l'intervalle I, notons M et P les points d'abscisses x respectivement sur ${𝒞}_f$ et D. Alors : $$\begin{array}{cc}MP=\left|f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right|& \left(\text{repère orthonormal}\right)\end{array}$$

Ainsi, pour des valeurs de x suffisamment éloignées de 0 ($\underset{x\to +\infty }{\lim }$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }$), la distance MP est voisine de 0 et les courbes ${𝒞}_f$ et D sont très proches l'une de l'autre.

Remarques

1. Lorsqu'une fonction f admet une limite infinie en $+\infty$ (resp. en $-\infty$), on peut affirmer que sa courbe représentative ${𝒞}_f$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $+\infty$ (resp. en $-\infty$) mais, la courbe ${𝒞}_f$ n'admet pas nécessairement une asymptote oblique en $+\infty$ (resp. en $-\infty$).

2. Lorsque l'expression d'une fonction f est sous la forme $f\left(x\right)=ax+b+g\left(x\right)$ avec $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$), alors on peut affirmer que la droite D d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique de la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$).

3. Pour étudier la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ par rapport à son asymptote D d'équation $y=ax+b$ il suffit d' étudier le signe de la différence $f\left(x\right)-\left(ax+b\right)$.

exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^5-x^4-9x^2+2x}{x^4+1}}$ , dont la courbe représentative ${𝒞}_f$ est tracée ci-dessous.

1. Montrer que la droite D d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ par rapport à son asymptote D.

1. Montrons que la droite D d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-\left(2x-1\right)& =& {\displaystyle \frac{2x^5-x^4-9x^2+2x}{x^4+1}}-\left(2x-1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^5-x^4-9x^2+2x-\left(2x-1\right)\left(x^4+1\right)}{x^4+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^5-x^4-9x^2+2x-2x^5-2x+x^4+1}{x^4+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}\end{array}$$

   D'autre part, $$\begin{array}{lllllll}\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}& =& \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-9x^2}{x^4}}& =& \underset{x\to -\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& =& 0\end{array}$$

   et $$\begin{array}{lllllll}\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-9x^2}{x^4}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& =& 0\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)=2x-1+{\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}$ avec $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}=0$ (respectivement $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}=0$) alors la droite D d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f en $-\infty$ (respectivement en $+\infty$).

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2. Pour étudier la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ par rapport à son asymptote D d'équation $y=2x-1$ il suffit, d' étudier le signe de la différence $f\left(x\right)-\left(2x-1\right)={\displaystyle \frac{1-9x^2}{x^4+1}}$.

   Or $x^4+1>0$ pour tout réel x, et $1-9x^2⩾0$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]$. Donc

   • Sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right[$ , on a $f\left(x\right)-\left(2x-1\right)>0$. La courbe ${𝒞}_f$ est située au dessus de la droite D.

   • Si $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ ou si $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$, on a $f\left(x\right)-\left(2x-1\right)=0$. La courbe ${𝒞}_f$ coupe la droite D aux points d'abscisses $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ ou ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   • Sur $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right[\cup \left]{\displaystyle \frac{1}{3}};+\infty \right[$ , on a $f\left(x\right)-\left(2x-1\right)<0$. La courbe ${𝒞}_f$ est située au dessous de la droite D.

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