Droites asymptotes

Asymptote horizontale

Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

rappel de définitions

Dire qu'une fonction f a pour limite finie le nombre $𝓁$ en $+ \infty$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $𝓁$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour x "assez grand", c'est à dire pour x appartenant à un certain intervalle $] M; + \infty [$ .
Dire qu'une fonction f a pour limite finie le nombre $𝓁$ en $- \infty$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $𝓁$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour x appartenant à un certain intervalle $] - \infty; M [$ .

interprétation graphique

On note $𝒞_{f}$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère.

Si $\lim_{x \to - \infty} f (x) = b$ ( ou $\lim_{x \to + \infty} f (x) = b$ ) alors, la droite D d'équation $y = b$ est asymptote à la courbe $𝒞_{f}$ en $- \infty$ ( respectivement en $+ \infty$ ).


$\lim_{x \to - \infty} f (x) = b$ : la droite D d'équation $y = b$ est asymptote à la courbe $𝒞_{f}$ en $- \infty$

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = b$ : la droite D d'équation $y = b$ est asymptote à la courbe $𝒞_{f}$ en $+ \infty$

postion relative

Étudier la position relative de la courbe $𝒞_{f}$ par rapport à son asymptote horizontale D d'équation $y = b$ revient à étudier le signe de $f (x) - b$ .

exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 12 x - 7}{4 x^{2} + 8 x + 5}$ , dont la courbe représentative $𝒞_{f}$ est tracée ci-dessous.

$\lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 x^{2} - 12 x - 7}{4 x^{2} + 8 x + 5} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 x^{2}}{4 x^{2}} = - 1$ d'où $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1$ alors, la droite d'équation $y = - 1$ est asymptote à la courbe $𝒞_{f}$ en $- \infty$ .
$\lim_{x \to + \infty} \frac{- 4 x^{2} - 12 x - 7}{4 x^{2} + 8 x + 5} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 4 x^{2}}{4 x^{2}} = - 1$ d'où $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - 1$ alors, la droite d'équation $y = - 1$ est asymptote à la courbe $𝒞_{f}$ en $+ \infty$ .

Ainsi, la droite d'équation $y = - 1$ est asymptote à la courbe $𝒞_{f}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .

Étudions les positions relatives de la courbe $𝒞_{f}$ et de son asymptote :

$\begin{array}{l} f (x) - (- 1) & = & \frac{- 4 x^{2} - 12 x - 7}{4 x^{2} + 8 x + 5} + 1 \\ = & \frac{- 4 x^{2} - 12 x - 7 + 4 x^{2} + 8 x + 5}{4 x^{2} + 8 x + 5} \\ = & \frac{- 4 x - 2}{4 x^{2} + 8 x + 5} \end{array}$

- Signe de $4 x^{2} + 8 x + 5$ :

$Δ = 64 - 80 = - 16$ . Comme le coefficient de $x^{2}$ est positif, alors pour tout réel x, $4 x^{2} + 8 x + 5 > 0$ .

- Signe de $- 4 x - 2$ : $\begin{array}{r} - 4 x - 2 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & - 4 x ⩽ 2 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ - \frac{1}{2} & Multiplication par un réel négatif \end{array}$

D'où le signe de $f (x) - (- 1)$

x	$- \infty$		$- \frac{1}{2}$		$+ \infty$
$f (x) - (- 1)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−

Par conséquent :

La courbe $𝒞_{f}$ est au dessus de l'asymptote pour tous les points dont l'abscisse x appartient à l'intervalle $] - \infty; - \frac{1}{2} [$ ;
La courbe $𝒞_{f}$ coupe l'asymptote au point de coordonnées $(- \frac{1}{2}; - 1)$ ;
La courbe $𝒞_{f}$ est au dessous de l'asymptote pour tous les points dont l'abscisse x appartient à l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ .

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