théorème des valeurs intermédiaires, fonctions strictement monotones

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

énoncé

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de $ℝ$ , et a, b, deux réels appartenant à I, $a<b$.
Si f est continue et strictement monotone sur $\left[a;b\right]$ , alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

démonstration

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, k un réel compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

1. Existence

   Par hypothèse, la fonction f est continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ ; donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet au moins une solution c appartenant à l'intervalle $\left[a;b\right]$.

2. Unicité

   Supposons que l'équation $f\left(x\right)=k$ admette deux solutions distinctes $c_1$ et $c_2$ dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.$$\begin{array}{ccc}{c}_1\ne c_2& \text{et}& a⩽c_1<c_2⩽b\end{array}$$

   Par hypothèse, f est une fonction strictement monotone sur l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   1. Si f est strictement croissante sur $\left[a;b\right]$. Alors :$$\begin{array}{lll}a⩽c_1<c_2⩽b& \Rightarrow & f\left(a\right)⩽f\left(c_1\right)<f\left(c_2\right)⩽f\left(b\right)\\ & \Rightarrow & f\left(c_1\right)\ne f\left(c_2\right)\end{array}$$

   2. Si f est strictement décroissante sur $\left[a;b\right]$. Alors :$$\begin{array}{lll}a⩽c_1<c_2⩽b& \Rightarrow & f\left(b\right)⩽f\left(c_2\right)<f\left(c_1\right)⩽f\left(a\right)\\ & \Rightarrow & f\left(c_1\right)\ne f\left(c_2\right)\end{array}$$

   Ainsi, f étant une fonction strictement monotone, $$\begin{array}{ccc}{c}_1\ne c_2& \Rightarrow & f\left(c_1\right)\ne f\left(c_2\right)\end{array}$$

   On aboutit à une contradiction puisque $f\left(c_1\right)=f\left(c_2\right)=k$. Donc $c_1=c_2$ , ce qui prouve que l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique sur $\left[a;b\right]$.

3. Conclusion

   L'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution c appartenant à $\left[a;b\right]$, et cette solution est unique.

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Illustration graphique

f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, on note ${𝒞}_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère.

f est une fonction continue et strictement croissante sur $[a;b]$ alors, pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ , il existe un seul point d'intersection entre la droite d'équation $y=k$ et la courbe ${𝒞}_f$ dont l'abscisse c est l'unique solution de l'équation $f\left(x\right)=k$.

f est une fonction continue et strictement décroissante sur $[a;b]$ alors, pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ , il existe un seul point d'intersection entre la droite d'équation $y=k$ et la courbe ${𝒞}_f$ dont l'abscisse c est l'unique solution de l'équation $f\left(x\right)=k$.

remarque

Le théorème s'applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle I de la forme $\left[a;b\right[$, $\left]a;b\right]$, $\left]a;b\right[$, $\left[a;+\infty \right[$, $\left]a;+\infty \right[$, $\left]-\infty ;b\right]$ ou $\left]-\infty ;b\right[$.

• Si une borne a ou b de l'intervalle est ouverte, alors on remplace l'image $f\left(a\right)$ ou $f\left(b\right)$ par la limite de f en cette borne.
• Si une borne de l'intervalle est $-\infty$ ou $+\infty$, alors on considère la limite de f en $-\infty$ ou $+\infty$.

Résolution approchée de l'équation $f\left(x\right)=0$

On applique le théorème dans le cas particulier où $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de $ℝ$, et a, b deux réels appartenant à I, $a<b$.
Si f est continue et strictement monotone sur $\left[a;b\right]$ et $f\left(a\right)\times f\left(b\right)<0$ (i.e $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires) , alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left]a;b\right[$.

une condition suffisante

La continuité et la stricte monotonie est une condition suffisante pour l'unicité de la solution de l'équation $f\left(x\right)=k$ , mais ce n'est pas une condition nécessaire.

Sur un intervalle l'équation $f\left(x\right)=k$ peut avoir une solution unique pour tout réel k de cet intervalle sans que la fonction soit strictement monotone et continue.

Ci dessous, est représentée une fonction f définie sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et telle que pour tout réel k de l'intervalle image $\left[m;M\right]$ (m est le minimum de la fonction f et M le maximum de la fonction f sur $[a;b]$), l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique dans $\left[a;b\right]$. Pourtant la fonction f n'est pas continue en α et n'est pas monotone.

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