contrôle du 20 janvier 2014

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On note $ℂ$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. On considère l'équation (E) l'équation d'inconnue z : $\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)z=-6\mathrm{i}$.

   1. Résoudre dans $ℂ$ l'équation (E). On notera $z_1$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.

      $$\begin{array}{rcl}\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)z=-6\mathrm{i}& \iff & z={\displaystyle \frac{-6\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{-6\mathrm{i}\times \left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)}{\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\times \left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{-6\sqrt{3}\mathrm{i}-6{\mathrm{i}}^2}{3+1}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{-6\sqrt{3}\mathrm{i}+6}{4}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}\end{array}$$

      L'équation : $\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)z=-6\mathrm{i}$ a pour solution $z_1={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$.

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   2. Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.

      Le module du nombre complexe $z_1={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$ est : $\left|z_1\right|=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{27}{4}}}=3$.

      Un argument θ du nombre complexe $z_1$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{3}{2\times 3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\times 3}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$. D'où $\arg \left(z_1\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

      La forme exponentielle du nombre complexe $z_1={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$ est $z_1=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$.

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   3. Soit $z_2$ le nombre complexe défini par : $z_2={\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi }\times z_1$. Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_2$.

      $${\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi }\times 3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(-\pi -\frac{\pi }{3}\right)}=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{4\pi }{3}}$$

      $z_2=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(2\pi -\frac{4\pi }{3}\right)}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$. Soit $$\begin{array}{rcl}{z}_2& =& 2\times \left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\\ & =& 2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\\ & =& -1+\mathrm{i}\sqrt{3}\end{array}$$

      $z_2=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ soit sous la forme exponentielle $z_2=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$.

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2. Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : $z_A=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, $z_B=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ et $z_C=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$.

   1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

      • $z_A=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$ d'où $\left|z_A\right|=3$ et $\arg \left(z_A\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ donc A est le point du cercle de centre O de rayon 3 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}A}\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
      • $z_B=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ d'où $\left|z_B\right|=2$ et $\arg \left(z_B\right)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ donc B est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}B}\right)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.
      • $z_C=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$ d'où $\left|z_C\right|=4$ et $\arg \left(z_C\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ donc C est le point du cercle de centre O de rayon 4 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}C}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

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   2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

      D'après les résultats précédents, $z_A=z_1={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$ et $z_B=z_2=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$. Déterminons la forme algébrique de $z_C=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$: $$z_C=4\times \left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}$$

      Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{BA}}=z_A-z_B$ soit : $$z_{\overrightarrow{BA}}=\left({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}\right)-\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$$

      Le vecteur $\overrightarrow{BC}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B$ soit : $$z_{\overrightarrow{BC}}=\left(-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}\right)-\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=3+\sqrt{3}\mathrm{i}$$

      Dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ le produit scalaire $\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}$ est : $$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}={\displaystyle \frac{5}{2}}\times 3+\left(-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}\right)\times \sqrt{3}=0$$

      $$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=0$$

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   3. Déterminer la nature du triangle ABC.

      Le produit scalaire $\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=0$ donc ABC est un triangle rectangle en B.

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