contrôle du 14 mars 2014

Corrigé de l'exercice 3

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(t\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}-{\mathrm{e}}^{-t}\right)$.
La représentation graphique ${𝒞}_f$ de la fonction f dans un repère orthogonal est fournie ci-dessous.

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Montrer que $f\prime \left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

      Pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(t\right)& =& 10\times \left(-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}+{\mathrm{e}}^{-t}\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left({\displaystyle \frac{-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}}{{\mathrm{e}}^{-t}}}+1\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\prime \left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(t\right)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

      Pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-t}>0$. Par conséquent, sur l'intervalle $\left[0;6\right]$, $f\prime \left(t\right)$ est du même signe que $1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}$.

      $$\begin{array}{ccc}1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,8}}}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,2}t⩽\ln \left(\mathrm{1,25}\right)\hfill \\ & \iff & t⩽5\ln \left(\mathrm{1,25}\right)\hfill \end{array}$$

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      t	0		$5\ln \left(\mathrm{1,25}\right)$		6
      $f\prime \left(t\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(t\right)$

      D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction f est atteint pour $t=5\ln \left(\mathrm{1,25}\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}f\left(5\ln \mathrm{1,25}\right)& =& 10\times \left({\mathrm{e}}^{-4\ln \mathrm{1,25}}-{\mathrm{e}}^{-5\ln \mathrm{1,25}}\right)\hfill \\ & =& 10\times \left({\mathrm{e}}^{4\ln \mathrm{0,8}}-{\mathrm{e}}^{5\ln \mathrm{0,8}}\right)\hfill \\ & =& 10\times \left({\mathrm{0,8}}^4-{\mathrm{0,8}}^5\right)\hfill \\ & =& 10\times {\mathrm{0,8}}^4\times \left(1-\mathrm{0,8}\right)\hfill \\ & =& 2\times {\mathrm{0,8}}^4\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{512}{625}}\hfill \end{array}$$

      Le maximum de la fonction est égal à ${\displaystyle \frac{512}{625}}=\mathrm{0,8192}$.

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2. 1. Montrer que l'équation $f\left(t\right)=\mathrm{0,3}$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[3;4\right]$.

      $f\left(3\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4}}-{\mathrm{e}}^{-3}\right)\approx \mathrm{0,41}$ et $f\left(4\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,2}}-{\mathrm{e}}^{-4}\right)\approx \mathrm{0,22}$

      La fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante sur l'intervalle $\left[3;4\right]$ et $f\left(4\right)<\mathrm{0,3}<f\left(3\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

      L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,3}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[3;4\right]$.

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   2. On considère l'algorithme suivant :

      Variables :	a, b, m et r sont des nombres réels
      Initialisation :	Affecter à a la valeur 3
      	Affecter à b la valeur 4
      Entrée :	Saisir r
      Traitement :	TANT QUE $b-a>r$
      	Affecter à m la valeur ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ SI $f\left(m\right)-\mathrm{0,3}>0$ ALORS Affecter à a la valeur m SINON Affecter à b la valeur m FIN SI
      	FIN TANT QUE
      Sortie :	Afficher a
      	Afficher b

      Faire fonctionner l'algorithme précédant avec $r=\mathrm{0,01}$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f\left(m\right)-\mathrm{0,3}$.

      Initialisation						$a=3$	$b=4$
      	$b-a$	$b-a>r$	m	$f\left(m\right)-\mathrm{0,3}$	$f\left(m\right)-\mathrm{0,3}>0$	a	b
      étape 1	1	oui	3,5	0,006	oui	3,5	4
      étape 2	0,5	oui	3,75	$-\mathrm{0,037}$	non	3,5	3,75
      étape 3	0,25	oui	3,625	$-\mathrm{0,016}$	non	3,5	3,625

   3. À la fin de l'exécution de l'algorithme, les variables a et b contiennent les valeurs 3,53125 et 3,539065. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

      L'algorithme permet de déterminer un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à 0,01 de la solution α de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,3}$. D'où $\mathrm{3,53125}⩽\alpha ⩽\mathrm{3,539065}$.

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3. Démontrer que la fonction F définie sur $\left[0;6\right]$ par $F\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$ est une primitive de la fonction f sur $\left[0;6\right]$.

   Une primitive F de la fonction f sur $\left[0;6\right]$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par : $$\begin{array}{ccc}F\left(t\right)& =& 10\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,8}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}+{\mathrm{e}}^{-t}\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left({\displaystyle \frac{-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}}{{\mathrm{e}}^{-t}}}+1\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)\hfill \end{array}$$

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[0;6\right]$ par $F\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

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partie b

On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang d'une personne, pendant les six heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool.
Le taux d'alcool dans le sang, exprimé en g/l, de cette personne est donné en fonction du temps t, en heures, par la fonction f définie dans la partie A.

1. Déterminer à quel instant le taux est maximum et donner ce maximum arrondi à ${10}^{-2}$ près.

   D'après la question 1.b de la partie A :

   Le taux d'alcool dans le sang maximum de cette personne est d'environ 0,82 g/l, au bout de $t=5\ln \mathrm{1,125}$ heures. Soit arrondi à 0,1 près au bout de 1,1 heure après l'absorption d'alcool.

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2. Des études ont montré que dès 0,3 g/l d'alcool dans le sang, un conducteur commet plus d'erreurs sur la route qu'en temps normal.
   Combien de temps, après absorption d'alcool, est-il prudent d'attendre pour cette personne avant de prendre sa voiture ?

   La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[5\ln \left(\mathrm{1,25}\right);6\right]$ et $f\left(\mathrm{3,54}\right)⩽\mathrm{0,3}⩽f\left(\mathrm{3,53}\right)$.

   Cette personne devra attendre au moins 3,54 heures après absorption d'alcool, avant de prendre le volant.

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3. $T_m$ est le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool. Donner une valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près du taux d'alcool moyen de cette personne.

   La valeur moyenne $T_m$ de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est : $$\begin{array}{ccc}{T}_m={\displaystyle \frac{1}{4-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[F\left(4\right)-F\left(0\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\times \left[{\mathrm{e}}^{-4}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}\right)-\left(1-\mathrm{1,25}\right)\right]\hfill \\ & =& \mathrm{2,5}{\mathrm{e}}^{-4}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}\right)+\mathrm{0,625}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,54}\hfill \end{array}$$

   Le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool de cette personne est d'environ 0,54 g/l.

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