contrôle du 02 février 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. Par lecture graphique, déterminer $f\left(2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

   La courbe ${𝒞}_f$ admet au point de coordonnées $\left(2;1\right)$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. On en déduit que :

   $f\left(2\right)=1$ et $f\prime \left(2\right)=0$.

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2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec les axes du repère.

   • $f\left(0\right)=-3$. Donc la courbe ${𝒞}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $\left(0;-3\right)$.

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   • $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=0& \iff & 4x-3=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

     La courbe ${𝒞}_f$ coupe l'axe des abscisses au point $\left({\displaystyle \frac{3}{4}};0\right)$.

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3. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2+6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

      La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables, $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=4x-3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$.

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4\left(x^2+1\right)-2x\left(4x-3\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2+4-8x^2+6x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2+6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2+6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Comme pour tout réel x, ${\left(x^2+1\right)}^2>0$ alors, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $P\left(x\right)=-4x^2+6x+4$.

      P est une fonction polynôme du second degré avec $a=-4\text{, }b=6\text{ et }c=4$. Le discriminant du trinôme est $$\mathrm{\Delta }=6^2-4\times \left(-4\right)\times 4=100$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ le polynnôme admet deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-6-10}{-8}}=2& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-6+10}{-8}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Comme $\mathrm{\Delta }>0$, le polynôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines avec $a<0$. On en déduit donc le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum).

      Les variations de la fonction f, se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$ :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variation de f			$-4$		1

      Calcul des extremum

      • $\begin{array}{ccccccccc}f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-3}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1}}& =& {\displaystyle \frac{-2-3}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+1}}& =& {\displaystyle \frac{-5}{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}& =& -4\end{array}$.
      • $\begin{array}{ccccccc}f\left(2\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times 2-3}{2^2+1}}& =& {\displaystyle \frac{5}{5}}& =& 1\end{array}$.

4. 1. Donner une équation des tangentes $d_1$ et $d_2$ à la courbe ${𝒞}_f$ aux points d'abscisses respectives $-3$ et $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

      • L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse $-3$ est :$$y=f\prime \left(-3\right)\times \left(x+3\right)+f\left(-3\right)$$

        Or

        • $\begin{array}{ccccccccc}f\prime \left(-3\right)& =& {\displaystyle \frac{-4\times {\left(-3\right)}^2+6\times \left(-3\right)+4}{{\left({\left(-3\right)}^2+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{-36-18+4}{{10}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{50}{100}}& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

        • $\begin{array}{ccccccc}f\left(-3\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(-3\right)-3}{{\left(-3\right)}^2+1}}& =& -{\displaystyle \frac{15}{10}}& =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

        Par conséquent, la tangente $d_1$ a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x+3\right)-{\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}-3\end{array}$$

        La tangente $d_1$ à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $-3$ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}-3$.

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      • $f\prime \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$ donc la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ a pour équation $y=f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

        La tangente $d_2$ à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ a pour équation $y=-4$.

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   2. Tracer les tangentes $d_1$ et $d_2$ dans le repère précédent.

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