contrôle du 20 avril 2013

exercice 1

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-7x}{x^2+x+6}}$. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.
La courbe $C_f$ représentative de la fonction f, dans un repère orthogonal du plan, est donnée ci-dessous.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$. En déduire le tableau des variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 et la tracer sur le graphique.

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exercice 2

1. Écrire sous la forme algébrique $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants :

   $z_1=\left(2+3\mathrm{i}\right)\left(3-2\mathrm{i}\right)$

   $z_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}}$

   $z_3={\displaystyle \frac{3+2\mathrm{i}}{1-4\mathrm{i}}}$

   $z_4=2\left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$

2. Écrire sous la forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

   $z_5=-2+2\mathrm{i}$

   $z_6=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$

   $z_7=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$

   $z_8=\mathrm{i}\sqrt{3}$

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exercice 3

$\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ est un repère orthonormal du plan complexe.

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_A=-3-\mathrm{i}$, $z_B=1+\mathrm{i}$ et $z_C=3+2\mathrm{i}$.

1. Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.

2. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

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exercice 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2 cm.

1. Soit A le point d'affixe le nombre complexe $z_A$ de module ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ d'argument $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

   Donner la forme algébrique de $z_A$.

2. Soit B le point d'affixe $z_B=\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

   Calculer le module et un argument de $z_B$.

3. Soit C le point d'affixe $z_C={\displaystyle \frac{4\mathrm{i}}{\stackrel{—}{z_B}}}$ où $\stackrel{—}{z_B}$ est le conjugué de $z_B$.

   1. Donner une forme algébrique de $z_C$.

   2. En déduire le module et un argument de $z_C$.

4. Placer les points A, B et C dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

5. Le triangle ABC est-il rectangle en B ?

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