contrôle du 20 octobre 2012

exercice 1

1. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D repérés respectivement par les réels $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.

2. Donner les coordonnées des quatre points A, B, C et D

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exercice 2

Écrire plus simplement les expressions suivantes :

1. $A=\sin \left(x-\pi \right)+\sin \left(5\pi -x\right)+\sin \left(x-3\pi \right)$.

2. $B=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+x\right)+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$.

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exercice 3

M est un point du cercle trigonométrique défini par $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=\alpha$ avec $\alpha \in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

1. Placer sur le cercle trigonométrique :

   1. le point $M_1$ tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{M}_1})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\alpha$ ;

   2. le point $M_2$ tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{M}_2})=\pi -\alpha$.

2. On donne $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$.

   1. Calculer la valeur exacte de $\cos \alpha$

   2. Donner les valeurs exactes de $\sin \left(-{\displaystyle \frac{9\pi }{10}}\right)$ et de $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)$.

      (Aide : ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}-\pi =-{\displaystyle \frac{9\pi }{10}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{10}}={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$)

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exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $\sin t+\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=0$.

2. $\cos \left(t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$.

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exercice 5

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle donné.

1. $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $x\in ]-\pi ;\pi ]$.

2. $2{\cos }^{2}x-1=0$ et $x\in ]-\pi ;\pi ]$.

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exercice 6

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $2x^2-3x-2=0$

2. En déduire les solutions de l'équation $2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$.

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exercice 7

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$

2. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$ et $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$.
   Résoudre dans $ℝ$ l'équation ${\cos }^{2}x-{\displaystyle \frac{\cos x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$.

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