contrôle du 7 juin 2013

exercice 1

Une machine fabrique 200 000 pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts A ou B et, qu'en moyenne :

• 9 % des pièces fabriquées présentent le défaut A ;
• 12 % des pièces fabriquées présentent le défaut B ;
• 8 % des pièces fabriquées présentent les deux défauts A et B.

partie a

On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.

1. Calculer la probabilité $p_1$ qu'elle n'ait aucun défaut.

2. Calculer la probabilité $p_2$ qu'elle présente un seul défaut.

partie b

Un contrôle de qualité a permis d'éliminer certaines pièces défectueuses qui ne sont plus mises en vente. On admet que 10 % des pièces mises en vente ont un défaut.
Les articles mis en vente sont commercialisés par lot de 100 pièces. Le stock est suffisamment important pour assimiler un lot à un tirage aléatoire avec remise.
Un client achète un lot de 100 pièces. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 pièces dans ce stock, associe le nombre de pièces défectueuses.

1. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.

   2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$ et l'écart type $\sigma \left(X\right)$.

2. Dans cette question, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième près.

   1. Déterminer la probabilité de trouver 10 pièces qui ont un défaut dans ce lot.

   2. Déterminer la probabilité de trouver moins de 10 pièces qui ont un défaut.

   3. Déterminer la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 13 pièces qui ont un défaut.

3. Après réception d'un lot, le client constate que 15 pièces ont un défaut.

   1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de pièces qui ont un défaut dans un échantillon de taille 100.

   2. Le lot acheté par ce client est-il représentatif des lots mis en vente ?

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exercice 2

1. Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $z_A=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

2. Pour chacun des nombres complexes suivants, calculer le module, déterminer un argument, puis écrire le nombre complexe sous sa forme trigonométrique.

   1. $z_B=-{\displaystyle \frac{2}{\stackrel{—}{z_A}}}$.

   2. $z_C=\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\times \left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2}}\right)$.

   3. $z_D={\displaystyle \frac{3\mathrm{i}\sqrt{2}}{-2+2\mathrm{i}}}$.

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, placer les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

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