contrôle du 24 novembre 2012

exercice 1

1. Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

   1. $2x^2+3x-2=0$.

   2. $5x^2-9x+3=-4x^2+3x-1$.

2. Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

   1. $-6x^2-x+2⩽0$.

   2. $4x^2<8x-3$.

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exercice 2

Soit u une fonction définie sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]-2;+\infty \right[$ dont le tableau des variations est le suivant :

x	$-\infty$		$-3$		$-2$				1		$+\infty$
Variations de u			$-1$						2

Donner le tableau des variations des fonctions $f:x\mapsto u\left(x+3\right)$ et $g:x\mapsto u\left(x\right)+1$.

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exercice 3

Soit u la fonction définie sur l'intervalle $\left[-4;4\right]$ dont la courbe représentative $C_u$ dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥})$ est donnée ci-dessous.

Tracer la courbe représentative des fonctions $f:x\mapsto u\left(x\right)+3$ et $g:x\mapsto u\left(x-2\right)$.

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exercice 4

Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer la dérivée $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^4-3x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{x}}+1$.

3. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+1$.

4. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=2\sin t+3\cos t$.

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exercice 5

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f_1\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{x^2+1}}$.

2. $f_2$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f_2\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2-2x+3}{x^2-x+1}}$.

3. $g_1$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g_1\left(x\right)=\left(1-x^2\right)\left(2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$.

4. $g_2$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g_2\left(x\right)=\left(x+1\right)\sqrt{x}$.

5. h est la fonction définie sur $\left]0;\pi \right[$ par $h\left(t\right)={\displaystyle \frac{\cos t}{\sin t}}$.

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exercice 6

Soit f la fonction définie pour tout réel $x>0$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 2.

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exercice 7

On a représenté ci-dessous, la courbe ${𝒞}_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ ainsi que les tangentes à la courbe aux points A, B et C. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

1. Déterminer graphiquement $f\prime \left(1\right)$.

2. Déterminer graphiquement $f\prime \left(-2\right)$.

3. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point C d'abscisse 4 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+b$.
   Quelle est la valeur de $f\prime \left(4\right)$ ? En déduire la valeur du réel b.

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