contrôles en première sti2d

contrôle du 7 juin 2013

Corrigé de l'exercice 1

Une machine fabrique 10 000 pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts A ou B et, qu'en moyenne :

9 % des pièces fabriquées présentent le défaut A ;
12 % des pièces fabriquées présentent le défaut B ;
8 % des pièces fabriquées présentent les deux défauts A et B.

partie a

On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.

Calculer la probabilité $p_{1}$ qu'elle n'ait aucun défaut.
Soit A l'évènement « la pièce choisie présente le défaut A », B l'évènement « la pièce choisie présente le défaut B ». $A \cup B$ désigne l'évènement « la pièce choisie a un défaut ». D'où $p_{1} = 1 - P (A \cup B)$ .

On sait que :
- 9 % des pièces fabriquées présentent le défaut A d'où $P (A) = 0,09$ .
- 12 % des pièces fabriquées présentent le défaut B d'où $P (B) = 0,12$ .
- 8 % des pièces fabriquées présentent les deux défauts A et B d'où $P (A \cap B) = 0,08$ .
On a donc : $\begin{array}{rcl} p_{1} = 1 - P (A \cup B) & \Leftrightarrow & p_{1} = 1 - (P (A) + P (B) - P (A \cap B)) \\ Soit & p_{1} = 1 - (0,09 + 0,12 - 0,08) = 0,87 \end{array}$
Ainsi, la probabilité que la pièce choisie n'ait aucun défaut est $p_{1} = 0,87$ .
Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'elle présente un seul défaut.
$\begin{array}{rcl} p_{2} = P (A \cup B) - P (A \cap B) & Soit & p_{2} = 0,13 - 0,08 = 0,05 \end{array}$
Ainsi, la probabilité que la pièce choisie n'ait qu'un seul défaut est $p_{2} = 0,05$ .

partie b

Un contrôle de qualité a permis d'éliminer certaines pièces défectueuses qui ne sont plus mises en vente. On admet que 10 % des pièces mises en vente ont un défaut.
Les articles mis en vente sont commercialisés par lot de 100 pièces. Le stock est suffisamment important pour assimiler un lot à un tirage aléatoire avec remise.
Un client achète un lot de 100 pièces. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 pièces dans ce stock, associe le nombre de pièces défectueuses.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
2. Calculer l'espérance mathématique $E (X)$ et l'écart type $σ (X)$ .
  X suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,1$ d'où $\begin{array}{rcl} E (X) = 100 \times 0,1 = 10 & et & σ (X) = \sqrt{100 \times 0,1 \times 0,9} = 3 \end{array}$
  L'espérance mathématique $E (X) = 10$ et l'écart type $σ (X) = 3$ .
Dans cette question, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième près.
1. Déterminer la probabilité de trouver 10 pièces qui ont un défaut dans ce lot.
  À l'aide de la calculatrice : $P (X = 10) = (\begin{matrix} 100 \\ 10 \end{matrix}) \times {0,1}^{10} \times {(1 - 0,1)}^{90} \approx 0,1318$
  Arrondie au millième près, la probabilité de trouver dans ce lot 10 pièces qui ont un défaut est 0,132.
2. Déterminer la probabilité de trouver moins de 10 pièces qui ont un défaut.
  À l'aide de la calculatrice : $P (X < 10) = P (X ⩽ 9) \approx 0,451$
  Arrondie au millième près, la probabilité de trouver dans ce lot moins de 10 pièces qui ont un défaut est 0,451.
3. Déterminer la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 13 pièces qui ont un défaut.
  $\begin{array}{ll} P (7 ⩽ X ⩽ 13) = P (X ⩽ 13) - P (X < 6) \\ Soit & P (7 ⩽ X ⩽ 13) \approx 0,759 \end{array}$
  
  Arrondie au millième près, la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 13 pièces qui ont un défaut est 0,759.
Après réception d'un lot, le client constate que 15 pièces ont un défaut.
1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de pièces qui ont un défaut dans un échantillon de taille 100.
  - Le plus petit entier a tel que $P (X ⩽ a) > 0,025$ est $a = 5$
  - Le plus petit entier b tel que $P (X ⩽ b) ⩾ 0,975$ est $b = 16$
  Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de pièces qui ont un défaut dans un échantillon de taille 100 est : $I = [\frac{5}{100}; \frac{16}{100}] = [0,05; 0,16]$
  Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de pièces qui ont un défaut dans un échantillon de taille 100 est $I = [0,05; 0,16]$ .
2. Le lot acheté par ce client est-il représentatif des lots mis en vente ?
  La fréquence du nombre de pièces qui ont un défaut dans ce lot est : $f = \frac{15}{100} = 0,15$
  $0,15 \in [0,05; 0,16]$ . La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation à 95 %, le lot acheté par ce client est représentatif des lots mis en vente.

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