contrôle du 2 avril 2015

Corrigé de l'exercice 1

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent.
Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population.
Une étude de marché estime à 1 200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2 % chaque semaine pour les éditions suivantes.
On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus n semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0=1200$.

1. Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération.

   $$u_1=1200\times \left(1+{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)=1224$$

   Une semaine après le début de l'opération, 1 224 journaux ont été vendus.

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2. Vérifier que $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n$ pour tout entier naturel n. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?

   Avec une progression des ventes de 2 % chaque semaine on a : $$u_{n+1}=u_n\times \left(1+{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)=\mathrm{1,02}{u}_n$$

   Ainsi, $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique définie par $u_0=1200$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n$.

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3. Écrire, pour tout entier naturel n, l'expression de $u_n$ en fonction de n.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $u_0=1200$ alors pour tout entier n, $u_n=1200\times {\mathrm{1,02}}^n$.

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4. Calculer le nombre de journaux vendus la douzième semaine après le début de l'opération.

   $$u_{12}=1200\times {\mathrm{1,02}}^{12}\approx \mathrm{1521,9}$$

   La douzième semaine après le début de l'opération environ 1 522 journaux ont été vendus.

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5. L'agence souhaite dépasser les 3 000 journaux vendus par semaine. Voici un algorithme :

   Variables :	U est un réel
   	N est un entier naturel
   Initialisation :	U prend la valeur 1 200
   	N prend la valeur 0
   Traitement :	Tant_que $U<3000$ :
   	N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $\mathrm{1,02}\times U$
   	Fin Tant_que
   Sortie :	Afficher N

   1. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme.

      À l'aide de la calculatrice on trouve $N=47$.

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   2. Interpréter le résultat précédent.

      C'est à partir de la quarante-septième semaine après le début de l'opération que le nombre de journaux vendus dépasse 3 000.

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6. Calculer $S=u_0+u_1+u_2+\cdots +u_{51}$ et interpréter le résultat.

   S est la somme des 52 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0=1200$ et de raison $q=\mathrm{1,02}$ d'où :$$S=1200\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,02}}^{52}}{1-\mathrm{1,02}}}\approx 108020$$

   $S\approx 108020$. En une année, 108 020 journaux ont été vendus.

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