contrôle du 29 janvier 2015

exercice 1

partie a : Lecture graphique

On donne ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. (Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée).

1. Donner la valeur de $f\prime \left(-2\right)$.

2. Déterminer le signe de $f\prime \left(-1\right)$ et de $f\prime \left(3\right)$.

partie b

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x+3}{x^2+1}}$.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2-6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   3. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum).

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3.
   Tracer la tangente T dans le repère précédent.

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exercice 2

L'unité de longueur est le côté du carreau.

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AE}$

2. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

3. $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AG}$

4. $\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AD}$

5. $\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{AD}$

6. $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AF}$

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exercice 3

ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB=6$ et $BC=8$.
H est le point du segment [BC] tel que $AH=6$. La droite (HK) est perpendiculaire à la droite (AC)

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

2. $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CK}$

3. $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HC}$

4. $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{AC}$

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exercice 4

ABC est un triangle isocèle en A tel que $BC=6cm$ et $AB=4cm$. I est le milieu du segment [BC].

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}$.

2. Calculer $\cos \left(\widehat{ABC}\right)$. En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{ABC}$ à 0,01 degré près.

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exercice 5

ABCD est un carré de côté égal à 4. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [CD].

1. Démontrer que $\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=64$.

2. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}$.

3. Montrer que $BI=2\sqrt{5}$.

4. Déterminer une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{IBJ}$.

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exercice 6

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{j}\right)$ on considère les points $A\left(-1;2\right)$, $B\left(1;-3\right)$ et $C\left(4;4\right)$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

3. Calculer $\cos \left(\widehat{ABC}\right)$.

4. En déduire la nature du triangle ABC.

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