contrôles en première sti2d

contrôle du 05 mars 2015

Thèmes :

Étude d'une fonction rationnelle , dérivée et variation.
Suites.

exercice 1

partie a : Lecture graphique

On donne ci-dessous, la courbe $C_{f}$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

La tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A (3; 1)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $f'$ la dérivée de la fonction f. (Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée).

Donner la valeur de $f' (3)$ .
Déterminer le signe de $f' (- 1)$ et de $f' (6)$ .

partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{4 x - 1}{x^{2} - 2 x + 8}$ .

Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec les axes du repère.
1. Montrer que pour tout réel x, $f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 30}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .
2. Étudier le signe du polynôme $g (x) = - 4 x^{2} + 2 x + 30$ .
3. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum).
Le point $B (2; 1)$ appartient-il à la tangente T à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 1 ?
Tracer la tangente T dans le repère précédent.

exercice 2

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 3$ et pour pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2} - \frac{1}{2}$ .

Calculer $u_{3}$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} + 1$ .
1. Montrer que pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + 1)$ . En déduire que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = 4 \times {0,5}^{n} - 1$ .
Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$ .

exercice 3

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 10$ et l'algorithme suivant qui permet de calculer les termes de $u_{1}$ à $u_{N}$ de la suite pour un entier N saisi par l'utilisateur.

U prend la valeur 10

Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur $- 0,05 \times U^{2} - \frac{U}{3} + 6$
Fin Pour

1. Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .
2. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = - 0,05 \times x^{2} - \frac{x}{3} + 6$ et la droite 𝒟 d'équation $y = x$ .
On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite $(u_{n})$ .
1. Construire sur l'axe des abscisses les termes $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ , $u_{5}$ et $u_{6}$ .
2. La suite $(u_{n})$ est-elle monotone ?

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